Question

如图,抛物线经过A(4,0),B(1,0),C(0,-2)三点

如图,抛物线经过A(4,0),B(1,0),C(0,-2)三点。
（1）求抛物线的解析式。
（2）P是抛物线上一动点，过P作PM垂直于x轴，垂足为M，是否存在P点，使得以A，P，M为顶点的三角形与三角形OAC相似？
（3）在直线AC上方的抛物线上有一点D，使得三角形DCA面积最大，求出点D的坐标。

只问（2）（3）问，第一问的解析式我求出来是y=-1/2x^2+5/2x-2
会了就采纳。加分也无所谓啊。快点快点。谢谢凹。

Answer 1

这题我没做答案，我给你说下思路吧。
（2）求相似无非是那几种方法，这题明显是用角角相似，因为两个三角形都有一个已知条件，起码都是直角三角形。然后确定P点的位置，因为A为三角形的顶点且垂足为M，所以A与M不重合M点可能在OA上则点P在X轴上方，还有种可能就是M在A点右侧则点P在X轴下方。然后用角等则弦等。可以确定点P的坐标，2个P点坐标求出之后带入第一问所求的方程看是否成立，若成立则存在，反之不存在。
（3）这问求最大面积，明显是动点。三角形DCA，相同的底AC，高在变化，根据面积公式只要求出动点到直线AC距离最长的点所围成的面积为最大。设点D坐标（X，-1/2x^2+5/2x-2）利用点线距离公式D=｜AXo+BYo+C｜/√A^2+B^2,带入D点化简计算点到线的最大值的X值为多少（最后化简是一元二次方程开口向下，算顶点的X值），带入抛物线方程计算该点的坐标即可。

Answer 2

存在P点，使得以A,M,P为顶点的三角形与三角形OAC相似。
则∠APM=∠OAC AM/BC=MP/AO
设P（x，y），则(x-4)/2=-y/4 y=8-2x代入
Y=-1/2X^2+5/2X-2
x=4（舍去） x=5 y=8-2x=-2
P（5，-2）
在直线AC的上方的抛物线上有一点D，使得三角形DCA的面积最大，
D（x，y） 直线AC y=x/2-2 x-2y-4=0
点到直线的距离公式 [x-2y-4]/根号5
=[x^2-4x]/根号5
求导(x^2-4x)'=2x-4=0 x=2取得极值 ，y=1
D的坐标 (2,1)

Answer 3

设二次函数为y=ax^2+bx+c
代入A（4,0）B(1,0)C（0，-2）
得a=-1/2,b=5/2
则y=(-1/2)x^2+(5/2)x-2

(2)
假设存在,设P(x,y)则:
当P在对称轴左侧时,即(1<x≤5/2)时,有:
OC:OA=PM:AM
即2:4=y:(4-x)
y=(-1/2)x^2+(5/2)x-2
则[(-1/2)x^2+(5/2)x-2]/(4-x)=1/2
得x=2或x=4(舍)
此时P点坐标为P(2,1)

当P在对称轴右侧时,即(5/2≤x<4)时,有:
OC:OA=(4-x):y
y=(-1/2)x^2+(5/2)x-2
则[(-1/2)x^2+(5/2)x-2]/(4-x)=2
得x=4(舍)或x=5(舍)

即只存在一点P(2,1)使△PMA与△OAC相似

(3)
△DCA的底AC固定,即高h在变.
高即点D到AC的距离
设点D(x,y)
AC直线易求:y=(1/2)x-2
即x-2y-4=0

点到直线距离:
|x-2y-4|/√(1^2+2^2)
=|x-2[(-1/2)x^2+(5/2)x-2]-4|/√(1^2+2^2)
=|x^2-4x|/√5

由题知x的范围是0≤x≤4
则|x^2-4x|/√5的最大值在x=2时取得
即此时D(2,1)为所求点.