Question

已知,三角形ABC中,AB=3,∠BAC=120°,AC=1,D为AB延长线上一点,BD=1,点P在∠BAC的平

已知，三角形ABC中，AB=3，∠BAC=120°，AC=1，D为AB延长线上一点，BD=1，点P在∠BAC的平分线上，且满足三角形PAD是等边三角形。
（1） 求证：BC=BP
（2） 求点C到BP的距离

Answer 1

简易答案（思路）：
（1）连接CP
∵等边△ADP
AD=AP ∠BDP=∠PAC AC=DB
△BPD≌△CPA
∴∠BPD=∠CPA
∵∠DPA=60°
∠BPD+∠BPA=∠CPA+∠BPA=60°
∴△BPC是等边三角形
∴BC=BP
（2）过点P做PH⊥AC，交AC延长线与点H
由（1）知
∠PAH=60°
∴∠APH=30°
∵AP=4
∴AH=2
CH=2-1=1
由勾股定理得，
HP=4sin60°
HP=2倍根号3
CP=根号13
高（CM）=根号13cos30°
=根号39/2

Answer 2

（1）连接PC，PB
根据余弦定理有，
BC的平方=AC的平方+AB平方-1/2*AC*AB*cosA
BP平方=BD平方+PD平方-1/2*BD*PD*cosD
CP平方=AC平方+AP平方-1/2*AC*AP*cos∠CAP
代入数据计算得到：
BC=BP=CP=13的平方根
∴ΔBCP是等边三角形。
（2）过C点做BP垂线于点M，
由ΔBCP是等边三角形，得到
CM=1/2*根号下39

Answer 3

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