Question

一道关于圆锥曲线的高中数学题

已知椭圆中心为坐标原点O，交点在X轴上，斜率为1且过椭圆右焦点F的直线L交椭圆于A,B两点，向量OA+向量OB与向量n=（1，3）垂直
1.求椭圆的离心率e
2.设M为椭圆上任意一点，且向量OM=（m+n)向量OA+(m-n)向量OB（m,n都属于R）,求动点N（m,n)的轨迹

Answer 1

以下直接记向量OA为OA。其它向量也如此。
设出椭圆标准方程（x/a)^2+(y/b)^2=1。显然直线L：y=x-c。与椭圆联立，得(x/a)^2+((x-c)/b)^2=1，两根为x1，x2.所以A（x1，x1-c），B（x2，x2-c），OA+OB=（x1+x2，x1+x2-2c)。因为它和n=（1，3）垂直，所以1*（x1+x2)+3*(x1+x2-2c)=0，所以2*（x1+x2）=3c。由根与系数的关系，x1+x2=2a^2*c/a^2+b^2，所以4c*a^2=3(a^2+b^2)c。所以a^2=3b^2，e=（根号6）/3。
所以OM=（（m+n)x1+(m-n)x2，(m+n)(x1-c)+(m-n)(x2-c))=(m(x1+x2)+n(x1-x2)，m(x1+x2)+n(x1-x2)-2mc)。因为M在椭圆上，所以b^2*(m(x1+x2)+n(x1-x2))^2+a^2*(m(x1+x2)+n(x1-x2)-2mc)^2=(ab)^2。打开，整理，利用跟与系数的关系，得：m^2(4a^2*c^2-4c^3)+n^2*8a^4=b^2(a^2+b^2),椭圆

Answer 2

1：
设椭圆方程为x^2/a^2+y^2/b^2=1,焦距为2c
a^2=b^2+c^2
则直线方程为y=x-c
代入椭圆方程得
（a^2+b^2)x^2-2a^2*cx+a^2c^2-a^2b^2=0
设A坐标（x1，y1），B坐标（x2，y2）
则OM=（x1+x2,y1+y2）
OM垂直于n
则x1+x2+3（y1+y2）=0
y1=x1-c，y2=x2-c
代入得
4（x1+x2)-6c=0
因为x1，x2是方程（a^2+b^2)x^2-2a^2*cx+a^2c^2-a^2b^2=0的两根
所以由韦达定理
4（2a^2*c)/(a^2+b^2)-6c=0
整理得 a^2=3b^2
又b^2=a^2-c^2
所以 e=根号（c^2/a^2)=三分之根号六
2：
令j=m+n，k=m-n
OM=j OA+ k OB
得点M坐标为
(j*x1+k*x2，j*y1+k*y2)
因为M在椭圆上
所以：
(j*x1+k*x2)^2/a^2+(j*y1+k*y2)/b^2=1
j^2*(x1^2/a^2+y1^2/b^2)+k^2*(x2^2/a^2+y2^2/b^2)+2jk(b^2*x1x2+a^2*y1y2)/(a^2*b^)=1
因为点A，B也在椭圆上
所以x1^2/a^2+y1^2/b^2=x2^2/a^2+y2^2/b^2=1
代入得
j^2+k^2+2jk(b^2*x1x2+a^2*y1y2)/(a^2*b^)=1
y1=x1-c y2=x2-c
代入 2jk(b^2*x1x2+a^2*y1y2) 得
2jk((a^2+b^2)(x1+x2)-a^2*x1x2+a^2c)
韦达定理并化简：
得2jk(2c^2-a^2-b^2)
因为 a^2=(3c^2)/2 b^2=(c^2)/2
代入 2c^2-a^2-b^2 得 2c^2-a^2-b^2=0
所以
j^2+k^2+2jk(b^2*x1x2+a^2*y1y2)/(a^2*b^)=j^2+k^2=1
因为 j=m+n，k=m-n
代入得 (m+n)^2+(m-n)^2=1
化简得
m^2+n^2=1/2