Question

几个高等数学的问题

1,若函数y= f (x)在点x0处连续,又Δx= x - x0,Δy= y-y0=f (x) - f (x0),则当Δx→0 时( )
A,Δy只可能是比Δx高阶的无穷小量
B,Δy与Δx是同阶无穷小量
C,Δy只可能是比Δx低阶的无穷小量
D,Δy是无穷小量,但与Δx相比哪一个是高阶,低阶,甚至于同阶都不一定
答案选D，这不是0比0型的吗？最后极限还能成0？它还可能是高阶的？
第二题见图片
谢谢！

Answer 1

1.“这不是0比0型的吗？最后极限还能成0？它还可能是高阶的？”
答：虽说无穷小是指该代数式的值趋近于0，但无穷小和无穷小之间也有大小关系。举个例子，f（x）=1-cos（x），g（x）=sin（x），利用等价无穷小x→0时，有f（x）=x^2/2，g（x）=x，那么lim（x→0）[f(x)/g(x)]=x/2=0;lim（x→0）[g(x)/f(x)]=2/x=∞，以上两个极限都是0分之0形的，它的值可以是0也可以是无穷大。回到题目中，当f（x）=1-cos（x）时Δy=1-cos（Δx），lim（x→0）[Δy/Δx]=0；当f（x）=sin（x）时，lim（x→0）[Δy/Δx]=1，所以当然选D

2.显然x≠1/n，但当x=0时为什么不连续我也搞不清，就选项来说可以排除B，因为n可以不为正整数，那么就只能选D了