Question

高等数学广义积分

帮忙看下咯~~~

Answer 1

1.原积分=∫(lnx)^(-p) d(lnx) (x下限2，上限正无穷)
设y=lnx,则原积分化为：
∫y^(-p) *dy (y下限ln2，上限正无穷)

当p=1时，原积分化为：
∫dy/y(y下限ln2,上限正无穷)
=lim(y趋于正无穷)lny-ln(ln2)
显然，后项为常数项，无关发散性，而前项显然当y趋于正无穷时，极限就是正无穷，换句话说，极限不存在，故，p=1时原广义积分是发散的；

当p≠1时，原广义积分可化为：
y^(1-p) /(1-p) （y下限ln2,上限正无穷）
=lim(y趋于正无穷) y^(1-p) /(1-p) -(ln2)^(1-p) /(1-p) ①
明显可以观察出，后一项一定为常数，于是，要是想要原广义积分收敛，必须使前项lim(y趋于正无穷) y^(1-p) /(1-p) 这个极限值存在
要想此极限存在，根此渣据幂函数的性质，只需指数项(1-p)<0即p>1就可以

综合上述p=1和p≠1两种情况，可以分析出：当p>1时，原广并扒棚义积分是收敛的

2.要想让原广义积分值最小，首先需要满足原广义积分是存在的，所以首先要使p>1
另外，当原广义积分存在时，前面①式中的前项必为0（幂函数的几个特殊极限值），所以原广义积分在收敛的情况下，可化为：
(ln2)^(1-p) /(p-1)=ln2 *[(ln2)^(-p) /(p-1)]
问题转化为：当p取何值时，上式能取得最小值，此为极值问题
设f(p)=(ln2)^(-p) /(p-1) (原式中的ln2项是大于0的常数，故它并不影响最小值的确定，为了简化运算，故不考虑此项)
题目的要求等价于求函数f(p)在p>1的自变量范围内取得最小值时自变量p的取值，可通过求得函数的驻点而得到此值：
对f(p)求p的导数：
f'(p)=-[ln(ln2)]^(-p) * {ln(ln2)*p-[ln(ln2)-1]} / (p-1)^
令f'(p)=0,可得出唯一驻点p=1-1/ln(ln2)
可验证此p值时在绝则p>1的范围之内的，故此极值符合题意
同样，可以验证当p>1-1/ln(ln2)时，f'(p)>0,当p<1-1/ln(ln2)时，f'(p)<0，故可确定当p=1-1/ln(ln2)时，原广义积分取得最小值