Question

数学帝进，一道白痴数学题，忘高人解答

有1000个关着的门
第一个学生走过全部这1000个门并且打开了他
然后第二个学生走过每个是二倍数的门，并且把这些二的倍数的门关掉
第三个学生走过每个3的倍数的门 并且改变了他的开关（意思就是如果3的倍数是关着的就重新开起来，如果3的倍数是开着的就关起来）
然后第4个学生把每个4的倍数的门改变它的开关
请问全部1000个学生
按照上诉的方式去弄门
哪些门 在最后是开着的？
求高人
可能我没说明白，第5个同学是把5的倍数改变它的开关，第6个同学是把6的倍数改变它的开关，一直到1000个同学，第1000个同学也就是改变1000的倍数
可能楼下都误解我意思了

Answer 1

这道题可以看做是求1到1000中每个数有几个约数的，在列举1到6的约数后，就会发现这题很简单，1只有1本身，所以第一个朋友进去了1就是开的，后面都跟门1没关系，2有1跟2两个约数，所以第二个同学就关上了，3有一根三，所以第三个同学也把三号门关上了，四有1，2，4三个约数，所以仍然开着，5只有1跟5，所以关着，6有1，2，3，6四个约数，所以关着，这样我们可以总结出规律，就是凡是拥有的约数个数为偶数的门将被最后关闭，那么开着的门自然就是自己的约数个数是奇数的了~！要想使约数个数为奇数，它本身必须是平方数，因为平方数总会有两个相同数的乘积，例如25有5和5，36有6和6，但写他们的约数时候只写一个5和一个6，这样他们的约数个数就为奇数了。
这样我们可以看1000所包含的最大平方数为31，所以最后门开着的是 1的平方，2的平方，3的平方，一直到31的平方，总共有31个！弱还有疑问请留言给我，谢谢

Answer 2

1 4 9 25 .。。。。。。。。

总共31个
因为只有平方数的约数个数是单数 例如1的约数是1，4的约数是1 2 4，9的约数是1 3 9，不是某数的平方数 那他的约数个数为双数 所以门是关着的
又 31*31=961 32*32=1024 即最后第1~31的平方数的门是打开的

Answer 3

我先说要完全写出来这些数是很多的。
第一个弄门后，全部开着，后3个学生不弄的就不变了，即不是2或3的倍数。如1.5.7.11.13.17.19.23.25.....
剩下3个学生，有2个学生弄的是开着，1关2开，
因为4是2的倍数，第四个学生弄的第二个也要弄。所以是4的倍数且不是3的倍数的门是开着的。是2和3的倍数且不是4的倍数也是开着的。
如：4.8.16.20.28..和6.18.30.42.54...

Answer 4

因为1000扇门都被打开，然后2的倍数的门都关闭，所以奇数号门开着了。
因为2与3的最小公倍数是6，所以所有6的倍数的门都被打开（因为这些数是2的倍数，先被关上，它们同时又是3的倍数，所以又被打开），而不是6的倍数的就被关上了。
因为2，4的最小公倍数是4，所以4的倍数的门改变了开关状态
因为2，3，4的最小公倍数是12，所以12的倍数的门被关闭，不是12的倍数的4的倍数的门被打开。
所以最后开着的门是上面这些结论的综合，请您自己计算一下。