Question

高一数学题，关于数列的，帮忙解答下，谢谢！

已知数列{an}中，a0=2，a1=3，a2=6，且当n≥3时，有an=（n+4）an-1 -4nan-2 +（4n-8）an-3 。
（1¬）设数列{bn }满足bn=an –nan-1，n属于N*，证明数列{bn+1-2bn}为等比数列，并求数列{bn}的通向公式；（2）记n×(n-1)×…×2×1=n！，求数列{nan}的前n项和Sn。
（a后的n或n-1，n-2，n-3均为下标）

Answer 1

已知数列{an}中，a0=2，a1=3，a2=6；
且当n≥3时，有an=(n+4)a(n-1)-4na(n-2)+(4n-8)a(n-3)；
(1).设数列{bn}满足bn=an-na(n-1)，n∈N*；
证明数列{b(n+1)-2bn}为等比数列，并求数列{bn}的通项公式；
(2).记n×(n-1)×…×2×1=n！，求数列{nan}的前n项和Sn。
解：
(1).b(n+1)-2bn=[a(n+1)-(n+1)an]-2[an–na(n-1)]=a(n+1)-(n+3)an+2na(n-1)；
由an=(n+4)a(n-1)-4na(n-2)+(4n-8)a(n-3)，可知：
a(n+1)=(n+5)an-4(n+1)a(n-1)+(4(n+1)-8)a(n-2)；
则a(n+1)-(n+3)an+2na(n-1)=2[an-(n+2)a(n-1)+2(n-1)a(n-2)]；
则b2-2b1=a2-4a1+2a0=6-4×3+2×2=-2；
即b(n+1)-2bn是以-2为首项，2为公比的等比数列，
则b(n+1)-2bn=(-2)×2^(n-1)=-2^n；
即b(n+1)-2bn=-2^n，则bn-2b(n-1)=-2^(n-1)；
变形为：(bn/2^n)-(b(n-1)/2^(n-1))=-1/2；
由bn=an-na(n-1)可知：b1=a1-a0=3-2=1；则b1/2^1=1/2；
则bn/2^n是一个以1/2为首项，-1/2为公差的等差数列，
则bn/2^n=(1/2)+(n-1)×(-1/2)，化简得bn=(2-n)×2^(n-1)；

(2).由(1)知bn=an-na(n-1)=(2-n)×2^(n-1)，
则变形为：an-2^n=n(a(n-1)-2^(n-1))；设an-2^n=cn，则cn=nc(n-1)；
则cn=nc(n-1)
=n(n-1)c(n-2)
=n(n-1)(n-2)c(n-3)
···
=n(n-1)(n-2)···×2×c1
=n!c1
c1=a1-2^1=3-2=1，则cn=n!，则an-2^n=n!,an=2^n+n!；

则nan的前n项和Sn为
Sn=∑(i=1→n)|(iai)=∑(i=1→n)|[i(2^i+i!)]
=∑(i=1→n)|[i×2^i+i×i!)]=∑(i=1→n)|(i×2^i)+∑(i=1→n)|(i×i!)

∑(i=1→n)|(i×2^i)=1×2^1+2×2^2+···+(n-1)×2^(n-1)+n×2^n，
2×∑(i=1→n)|(i×2^i)=1×2^2+2×2^3+···+(n-1)×2^n+n×2^(n+1)，
∑(i=1→n)|(i×2^i)-2×∑(i=1→n)|(i×2^i)=-∑(i=1→n)|(i×2^i)
=(2^1+2^2+2^3+···+2^n)-n×2^(n+1)
=2^(n+1)-2-n×2^(n+1)=-(n-1)×2^(n+1)-2
则∑(i=1→n)|(i×2^i)=(n-1)×2^(n+1)+2；

∑(i=1→n)|(i×i!)=1×1!+2×2!+···+i×i!+···+(n-1)×(n-1)!+n×n!
则∑(i=1→n)|(i×i!)
=∑(i=1→n)|(i×i!)+∑(i=1→n)|(i!)-∑(i=1→n)|(i!)
=1×1!+2×2!+3×3!+···+i×i!+···+(n-1)×(n-1)!+n×n!
+1!+ 2!+ 3!+···+ i!+···+ (n-1)!+ n!
-(1!+ 2!+ 3!+···+ i!+···+ (n-1)!+ n!)
= 2!+3!+···+(i+1)!+···+(n-1)!+n!+(n+1)!
-(1!+2!+3!+··· +i!+···+(n-1)!+n!)
=(n+1)!-1
即∑(i=1→n)|(i×i!)=(n+1)!-1；

Sn=∑(i=1→n)|(i×2^i)+∑(i=1→n)|(i×i!)
=[(n-1)×2^(n+1)+2]+[(n+1)!-1]
化简，得Sn=(n-1)×2^(n+1)+(n+1)!+1。