Question

已知二次函数f(x)=ax^2+bx+c(a,b是常数且a不等于0），满足条件：f(0)=f(2)=0且方程f(x)=2x有2个等根。

1：求f(x)的解析式
2：试确定一个区间P，使得f(x）在P内单调递减且不等式f(x)≥0在P内恒成立
3：问是否存在实数m,n(m<n),使f(x)在区间[m,n]内的取值范围恰好是[4m,4n]？若存在，求出m,n的值，若不存在，说明理由。

要有过程，在线等~~~

Answer 1

解：1.∵f(0)=f(2)=0
∴c=0 4a+2b+c=0 ∴b=-2a ∴f(x)=ax²-2ax=2x
∴ax²+(2-2a)x=0
∵方程ax²+(2-2a)x=0有二个等根∴2-2a=0 ∴a=1 ∴b=-2
∴二次函数的解析式为：f(x)=x²-2x
2.令f(x)=0 即x²-2x=0 ∴x1=0 x2=2∴与x轴的交点为（0，0）（2，0）
f(x)=x²-2x=(x-1)²-1 ∴顶点（1，-1）
在对称轴x=1左侧单调递减 又f(x)≥0∴区间P为（－∞，0]
3.若f(x)在区间[m,n]内的取值范围恰好是[4m,4n]
则有f(m)=4m即m²-2m=4m∴m＝0或m＝6
∴m取0，n取6
∴存在实数m＝0，n＝6，使f（x）在区间〔0，6〕内的取值恰好是〔0，24〕．

Answer 2

由3-4x+x^2>0
(x-1)(x-3)>0
x<1,x>3
得：M=(-∞,1)∪(3,+∞)
∵x属于M
设t=2^x∈(0,2)∪(8,+∞)
∴f(x)=2^x+2-3*4^x
=- 3*t²+t+2
=-3(t-1/6)²+25/12
∴ t=1/6时，f(x)取最大值25/12