Question

圆与二次函数的综合题

已知，如图，抛物线y=ax^2+bx+c经过原点（0，0）和A（1，-3），B（-1，5）三点
1）.求抛物线的解析式
2）.设抛物线与x轴的另一交点为C以OC为直径作⊙M，如果过抛物线上一点P作⊙M的切线PD，切点为D，且与y轴正半轴交点为E，连MD，已知点E坐标为（0，m），求四边形EOMD的面积。（用含m代数式表示）
3）.延长DM交⊙M于N，连ON，OD，当点P在2）.条件下，运动到什么位置时，使S四边形EOMD=S△DON？求出此时P坐标。

Answer 1

解：1)∵抛物线过点O（0，0），A（1，-3），B（-1，5）
∴0=c
-3=a+b+c
5=a-b+c
∴a=1 b=-4
∴抛物线的解析式为：y=x²-4x
2)令y＝0即x²－4x＝0∴x1＝0x2＝4∴C（0，4）M（0，2）连结ME
可证△MED≌△MEO ∴S四边形EOMD=S△MED+S△MEO＝2S△MEO
∵S△MEO＝1／2OM＊OE＝1／2×2×m＝m
∴S四边形EOMD＝2S△MEO＝2m
3）点P在运动过程中，△DON的面积是不变的。 当D点是⊙M与对称轴x＝2的交点时：D（2，2） S△DON＝1／2×2×4＝4
若S四边形EOMD＝S△DON ∴2m＝4 ∴m＝2
∴E（0，2）此时切线PD‖x轴 ∴P点的纵坐标为2
即y＝2 ∴x²－4x＝2 ∴x＝2±√6
∴点P的坐标为（2＋√6，2），（2－√6，2）