Question

3阶方阵A的特征值为1，-1，2，则|A^2-2E|=

求详细解答，多谢！

Answer 1

所以特征值为-1,-1,2，则所求矩阵的行列式的值为其特征值的乘积,结果为 2。

1. 特征值是线性代数中的一个重要概念。在数学、物理学、化学、计算机等领域有着广泛的应用。

2. 在A变换的作用下，向量ξ仅仅在尺度上变为原来的λ倍。称ξ是A 的一个特征向量，λ是对应的特征值（本征值）,是（实验中）能测得出来的量，与之对应在量子力学理论中，很多量并不能得以测量，当然，其他理论领域也有这一现象。

3. eigen value又称本征值。设A是向量空间的一个线性变换，如果空间中某一非零向量通过A变换后所得到的向量和X仅差一个常数因子，即AX=kX ，则称k为A的特征值，X称为A的属于特征值k的特征向量或特征矢量(eigenvector)。

4. 如在求解薛定谔波动方程时，在波函数满足单值、有限、连续性和归一化条件下，势场中运动粒子的总能量(正)所必须取的特定值，这些值就是正的本征值。

5. 设M是n阶方阵， I是单位矩阵， 如果存在一个数λ使得 M-λI 是奇异矩阵（即不可逆矩阵， 亦即行列式为零）， 那么λ称为M的特征值。

Answer 2

由特征值的定义有
Aα=λα,α≠0 （λ为特征值，α为特征向量）
则有A^2α=A(λα)=λAα=λ^2α
即有（A^2-2E）α=(λ^2-2)α
也就是说如λ是A的特征值，那么λ^2-2就是A^2-2E的特征值
所以特征值为-1,-1,2
则所求矩阵的行列式的值为其特征值的乘积，结果为 2

Answer 3

因为特征值是2，则|A-2E|=0，所以A^2-2E+E^2-E^2=(A-E)^2-E^2=(A-E+E)(A-E-E)=A(A-2E)=0

Answer 4

det(A-2E)=0
Ax=2x
A^2 x=A(2x)=2Ax=2 2x=4x
(A^2 -2E)x=2x
存在y,x y^t=E
(A^2 -2E)x y^t=2x y^t
det(A^2 -2E)det(x y^t)=det(2x)=2det(x y^t)
det(A^2 -2E)det(E)=2det(E)
det(A^2 -2E)=2
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