Question

过点P（2，1）的直线l,与x,y正半轴交于A,B。求OA+OB最小时，L的方程？求PA×PB最小时，L的方程？

Answer 1

设过点P（2，1）的直线l的斜率为k（k<0)，
则直线方程为：
y-1=k（x-2）即是y=kx+1-2k
A（（2k-1）/k,0),B(0,1-2k)

1. OA+OB=（2k-1）/k+1-2k(由于k<0不用带绝对值）
=3-1/k-2k
-1/k-2k>=2根号下[（-1/k）*（-2k）]=2*根号下2
即是当-1/k=-2k时，OA+OB最小为 3+2*根号下2
k=-（根号下2）/2
OA+OB最小时，L的方程为
y=（-（根号下2）/2）x+1+根号下2

2.PA^2=（（2k-1）/k-2)^2+(0-1)^2
=1/k^2+1
PA^2=（1-2k-1)^2+(2-0)^2
=4(k^2+1)
PA^2*PA^2=4(2+k^2+1/k^2)

k^2+1/k^2>=2*k*1/k=2 当k=1/k取等号
即是当k=-1时，PA×PB最小值为4

PA×PB最小时，L的方程为y=-x+3

说明：最小值用到的规律
a^2+b^2>=2ab(利用（a-b)^2>=0推导）
或a+b>=2根号下（ab)（这里要a>=0,b>=0)

Answer 2

直线与x、y轴均有交点
设y=k(x-2)+1，k＜0
则A（2-1/k，0），B（0，1-2k）
则OA+OB=2-1/k+1-2k=3-1/k-2k
因为k＜0
所以k=-√2/2时有最小值
直线为y==-√2/2(x-2)+1=y=-√2x/2+√2+1

(PA*PB)^2=[(2-1/k-2)^2+1^2][2^2+(1-2k-1)^2]=8+4k^2+4/k^2
则k=-1时有最小值
直线为y==-(x-2)+1=-x+3