Question

求解大学概率统计的一道题目

设随机变量X和Y的数学期望分别为2和-2，方差分别为1和4，两者的相关系数为-0.5.根据切比雪夫不等式证明：P{|X+Y|>=6}<=1/12
补充：切比雪夫不等式是对于任意正数e，P{|X-E(X)|>=e}<=D(X)/(e*e)
(P为概率）
明天要考试了，跪求大家啦，谢谢！

Answer 1

E(X)=2 E(Y)=-2 D(X)=1 D(Y)=4
因为相关系数为-0.5，可得：
E(XY)-(-2)*2 / 1*2 = -0.5
E(XY)=-5 Cov(X,Y)=-1
E(X^2)=D(X)+[E(X)]^2=1+4=5
E(Y^2)=D(Y)+[E(Y)]^2=4+4=8
E[(X+Y)^2]=E(X^2)+E(Y^2)+2E(XY)=5+8-10=3
D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2Cox(X,Y)=1+4-2=3
[E(X+Y)]^2=E[(X+Y)^2]-D(X+Y)=0
E(X+Y)=0
下面利用切比雪夫不等式，其中ε=6
P{|X+Y-E(X+Y)|≥6}≤D(X+Y)/36
P{|X+Y-0|≥6}≤3/36
得证：P{|X+Y|≥6}≤1/12

记住以下公式来疯狂推导就可以了~
D(X)=E(X^2)-[E(X)]^2
D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2Cov(X,Y)
E[(X+Y)^2]=E(X^2)+E(Y^2)+2E(XY)
相关系数Ρxy=E(XY)-E(X)E(Y) / √D(X)D(Y)