Question

已知:如图们在△ABC中,角ABC=3角C,角1=角2,BE⊥AE.求证:AC-AB=2BE

Answer 1

延长BE交AC边于D
因为AE⊥BE，所以有∠AEB=∠AED=90度
而在△ABE和△ADE中，还有∠1=∠2，AE为公共边
所以△ABE≌△ADE
所以AB=AD，∠ABD=∠ADB，BE=DE
所以AC-AB=AC-AD=CD，BD=2BE
而在△DBC中，∠ADB为内角BDC的外角，于是有∠ADB=∠DBC+∠C
所以∠ABD=∠DBC+∠C
而∠ABC=∠ABD+∠DBC=3∠C
<=>∠DBC+∠DBC+∠C=3∠C
<=>∠DBC=∠C
所以△DBC是等腰三角形
两腰BD=CD
所以AC-AB=CD=BD=2BE

Answer 2

证明：延长BE交AC于M
∵BE⊥AE，
∴∠AEB=∠AEM=90°
在△ABE中，
∵∠1+∠3+∠AEB=180°，
∴∠3=90°-∠1
同理，∠4=90°-∠2
∵∠1=∠2，
∴∠3=∠4，
∴AB=AM
∵BE⊥AE，
∴BM=2BE，
∴AC-AB=AC-AM=CM，
∵∠4是△BCM的外角
∴∠4=∠5+∠C
∵∠ABC=3∠C，∴∠ABC=∠3+∠5=∠4+∠5
∴3∠C=∠4+∠5=2∠5+∠C
∴∠5=∠C
∴CM=BM
∴AC-AB=BM=2BE

Answer 3

b