Question

∫e^(2x)*(sinx)^2dx用分部积分法求解详细过程

做了两次分部积分又回到原来的积分且不能通过移项解方程的方法求出待解积分，请高手解疑！

Answer 1

∫e^(2x)*(sinx)^2dx,你最后肯定是求∫e^(2x)*(cos2x)dx的时候卡住了，是吧悔指，这样，令t=2x,则只用求碧毁配∫(e^t)costdt了，令I=∫e^tcostdt=∫costde^t=e^tcost-∫e^tdcost=e^tcost+∫e^tsintdt=e^tcost+∫sintde^t=e^tcost+e^tsint-∫e^tdsint=e^t(cost+sint)-∫e^tcostdt=e^t(cost+sint)-I,会余卜了吧？

Answer 2

∫e^(2x)*sin²xdx
=½∫e^(2x)(1-cos2x)dx
=½∫e^(2x)dx - ½∫e^(2x)cos2xdx
=½∫e^(2x)dx - ½∫做销e^(2x)cos2xdx

∫e^(2x)cos2xdx
=½∫e^(2x)d(sin2x)
=½e^(2x)(sin2x)-½携胡备∫(sin2x)de^(2x) + C
=½e^(2x)(sin2x)-∫e^(2x)(sin2x)dx + C
=½e^(2x)(sin2x)+½∫e^(2x)d(cos2x) + C
=½e^(2x)(sin2x)+½e^(2x)(cos2x)-½∫(cos2x)de^(2x) + C
=½辩毁e^(2x)(sin2x)+½e^(2x)(cos2x)-∫e^(2x)(cos2x)dx + C

2∫e^(2x)cos2xdx = ½e^(2x)(sin2x)+½e^(2x)(cos2x) + C
∫e^(2x)cos2xdx = ¼e^(2x)[sin2x+ cos2x] + C

∫e^(2x)*sin²xdx
=½∫e^(2x)dx - ½∫e^(2x)cos2xdx
=½∫e^(2x)dx - ½[¼e^(2x)(sin2x + cos2x)] + C
=½∫e^(2x)dx - ⅛[e^(2x)(sin2x + cos2x)] + C
=¼e^(2x) - ⅛[e^(2x)(sin2x + cos2x)] + C
=⅛e^(2x)[2 - sin2x - cos2x)] + C