Question

一道关于秩的线性代数证明题，急！高分！

已知矩阵A=C的转置*C，C为m*n矩阵，证明r(A)=r(C).
要求用秩的定义（非零子式最高阶数）和分块矩阵证明。

Answer 1

有不懂的再问我吧 

PS:开始证的时候还没注意，后来发现我用了C是实矩阵的条件，但是楼主没给。考虑了一下，觉得这个条件是必要的，因为若C为复矩阵，可以举出反例如下：

C=1 0

    i 0

楼主应该可以看出毛病了~

Answer 2

这道题既然是用秩的定义来做，不妨就用构造函数的方法。
证明：要证明r(A)=r(C) 则需证r(C的转置*C)=r(C)
构造C的转置*C*X=0 和CX=0
则只需证明这两个方程组同解即可。
所以，设a是CX=0的解 那么显然a同样是C的转置*C*X=0的解
另一方面 若a是C的转置*C*X=0的解，则C的转置*C*a=0，左乘C的转置，得到a的转置*C的转置*C*a=0，即（C*a）的转置*C*a=0，从而C*a=0，a是CX=0的解。
证得两齐次线性方程组同解，所以n-r(C的转置*C)=n-r(C)=n-r（A）
所以
r(A)=r(C).

另：此做法确然无误，足可采信。