单位列向量转置与该向量乘积的特征值
x为单位列向量，那么A的特征值是多少（矩阵A如下图)？如果是多重特征值，求出重数。我知道特征值只能是1和0，且只有一个1，其余n-1重都是0，但不知道怎么证明。...
x为单位列向量，那么A的特征值是多少（矩阵A如下图)？如果是多重特征值，求出重数。
我知道特征值只能是1和0，且只有一个1，其余n-1重都是0，但不知道怎么证明。 展开
我知道特征值只能是1和0，且只有一个1，其余n-1重都是0，但不知道怎么证明。 展开
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证明
（1）首先A^2=(xxT)(xxT)
用结合律
=x(xTx)xT
=x*1*xT
=xxT
=A
所以我们得到A^2-A=0（0表示零矩阵）
于是它的特征值只能是x^2-x=0的根，就是0或1.
（2）其次看0和1是几重根
A=
x1x1 x1x2 ... x1xn
x2x1 x2x2 ... x2xn
...
xnx1 xnx2 ... xnxn
我们发现它的各行都是成比例的，（比如第二行是第一行的x2/x1倍）。所以说这个矩阵的行向量线性相关，秩为1。它的n个特征值中，只能有一个不为0.
于是得到：特征值是n-1个0和一个1.
（1）首先A^2=(xxT)(xxT)
用结合律
=x(xTx)xT
=x*1*xT
=xxT
=A
所以我们得到A^2-A=0（0表示零矩阵）
于是它的特征值只能是x^2-x=0的根，就是0或1.
（2）其次看0和1是几重根
A=
x1x1 x1x2 ... x1xn
x2x1 x2x2 ... x2xn
...
xnx1 xnx2 ... xnxn
我们发现它的各行都是成比例的，（比如第二行是第一行的x2/x1倍）。所以说这个矩阵的行向量线性相关，秩为1。它的n个特征值中，只能有一个不为0.
于是得到：特征值是n-1个0和一个1.
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光点科技
2023-08-15 广告
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A=xx'才对
设Ay=ty
那么xx'y=ty=(x'y)x
若x,y成比例,不妨设y=x,则t=1
否则t=x'y=0,这样的y形成的是n-1维空间,即它又n-1个线性无关的解
所以特征值只能是1和0，且只有一个1，其余n-1重都是0
设Ay=ty
那么xx'y=ty=(x'y)x
若x,y成比例,不妨设y=x,则t=1
否则t=x'y=0,这样的y形成的是n-1维空间,即它又n-1个线性无关的解
所以特征值只能是1和0，且只有一个1，其余n-1重都是0
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