Question

线性代数中的极大无关组的求法

最好有例子加以说明

Answer 1

设V是域P上的线性空间，S是V的子集。若S的一部分向量线性无关，但在这部分向量中，加上S的任一向量后都线性相关，则称这部分向量是S的一个极大线性无关组。V中子集的极大线性无关组不是惟一的。

例如，V的基都是V的极大线性无关组。它们所含的向量个数（基数）相同。V的子集S的极大线性无关组所含向量的个数（基数），称为S的秩。只含零向量的子集的秩是零。V的任一子集都与它的极大线性无关组等价。特别地，当S等于V且V是有限维线性空间时，S的秩就是V的维数。

扩展资料：

（1）只含零向量的向量组没有极大无关组；

（2）一个线性无关向量组的极大无关组就是其本身；

（3）极大线性无关组对于每个向量组来说并不唯一，但是每个向量组的极大线性无关组都含有相同个数的向量；

（4）齐次方程组的解向量的极大无关组为基础解系。

（5）任意一个极大线性无关组都与向量组本身等价。

（6）一向量组的任意两个极大线性无关组都是等价的。

（7）若一个向量组中的每个向量都能用另一个向量组中的向量线性表出，则前者极大线性无关向量组的向量个数小于或等于后者。

参考资料来源：百度百科-极大无关组

Answer 2

呵呵，很简单啊。
先把那几个向量以列向量的形式写成一个矩阵，然后求这个矩阵的秩，因为极大无关组中向量的个数就是矩阵的秩。要求矩阵的秩当然要先把矩阵化成行简化阶梯型矩阵啦，然后看看其中的单位阵部分对应哪几个向量，这几个向量便是极大无关组的成员喽~。例子如下：
求a1=(-1,-1,0,0)T a2=(1,2,1,-2)T a3=(0,1,1,-1)T a4=(1,3,2,1)T

a5=(2,6,4,-1)T 的一个极大线性无关组。
解：A=
-1 1 0 1 2
-1 2 1 3 6
0 1 1 2 4
0 -1 -1 1 -1
化简得：
A=
1 0 1 0 1
0 1 1 0 2
0 0 0 1 1
0 0 0 0 0
显然r（A)=3.因此极大无关组有3个向量。
显然第1，2，4列为单位矩阵部分，对应的向量为a1 a2 a4,
因此此即为极大无关组。