Question

已知三角形ABC的三边长abc满足a+c=2b，a+b+c=15,且最大角是最小角的2倍，求这个三角形的面积

Answer 1

由正玄定理得
sinA/a=sinC/c
即2sinCcosC/a=sinC/c
∴cosC=a/2c
余玄定理得
cosC=a^2+b^2-c^2/2ab=(a+c)(a-c)+b^2/2ab
又∵2b=a+c
∴a/2c=2b(a-c)+b^2/2ab
∴a/c=2(a-c)+b/a
即2a^2+3c^2-5ac=0
∴a=c(舍去）或a=3/2c
a-2=c
1.5c-2=c
c=4
a=6
b=5
所以面积等于9.92

Answer 2

a+c=2b，a+b+c=15,则b=5，则A和C一个是最大角，一个是最小角。设A>C,则
sinA/a=sinC/c即cosC=a/(2c)
又余弦定理
cosC=(a^2+b^2-c^2)/2ab=[(a+c)(a-c)+b^2]/2ab
所以cosC=a/(2c)=[10（a-c）+25]/(10a) 又a+c=10
所以解得c=4或者c=5 因为a和c 不相等，所以c=5舍去。
所以a=6 b=5 c=4
所以cosC=6/8=3/4 所以S=（1/2）*a*b*sinC=(15√7)/4