Question

如图1，在正方形ABCD中，E是AB上一点，F是AD延长线上一点，且DF＝BE．

（1）求证：CE＝CF；
（2）在图1中，若G在AD上，且∠GCE＝45°，则GE＝BE＋GD成立吗？为什么？

Answer 1

：（1）∵DF=BE，∠FDC=∠EBC，BC=DC，
∴△EBC≌△FDC，
∴∠DCF=∠BCE，
∵∠GCE=45°，所以∠BCE+∠DCG=90°-45°=45°，
即∠DCG+∠DCF=45°，
于是有GC=GC，
∠ECG=∠FCG，
CF=CE，
于是△ECG≌△FCG，
故EG=GF，即GE=BE+GD．

（2）作CG⊥EG，
因为△ECG≌△FCG，
故其对应高相等，
于是CD=CG，
以C为圆心，CD为半径作圆，则该圆经过点G，
于是可知EG为圆的切线．

（3）过C作CG⊥AD，交AD延长线于G，
在直角梯形ABCD中，
∵AD∥BC，∠A=∠B=90°，
又∠CGA=90°，AB=BC，
∴四边形ABCG为正方形．
∴AG=BC=12．
已知∠DCE=45°，根据（1）（2）可知，ED=BE+DG，
设DE=x，则DG=x-4，
∴AD=16-x．
在Rt△AED中
∵DE2=AD2+AE2，即x2=（16-x）2+82
解得：x=10．
∴DE=10．

Answer 2

（1）证：∵正方形ABCD
∴∠B=∠FDC
BC=DC
∵DF=BE
∴△
∴CE=CF
（2）成立
证:∵△EBC≌△FDC
∴∠BCE=∠DCF
∵∠GCE=45°
∴∠BCE+∠GCD=45°
∴∠DCF+∠GCD=45°
∵EC=FC,CG=CG
∴△ECG≌△FCG
∴GE＝DF＋GD
∵BE=EF
∴GE＝BE＋GD

Answer 3

1）证：∵正方形ABCD ∴∠B=∠FDC BC=DC ∵DF=BE ∴△ ∴CE=CF（2）成立 证:∵△EBC≌△FDC ∴∠BCE=∠DCF ∵∠GCE=45° ∴∠BCE ∠GCD=45° ∴∠DCF ∠GCD=45° ∵EC=FC,CG=CG ∴△ECG≌△FCG ∴GE＝DF＋GD ∵BE=EF ∴GE＝BE＋GD 根据1）（2）解答中所积累的经验和知识 可知 DE=DF BE=GF 在直角三角形AED中 ED^2=AE^2 AD^2 AE=12-EB=8 AD=12-DG=12-(ED-4)=16-ED 所以ED^2=8^2 (16-ED)^2 (ED-16 ED)(ED 16-ED)=8^2 16(2DE-16)=64 2DE=20 DE=10