Question

设A是m*n矩阵,B是n*m矩阵,证明:若r(A)=n,则r(AB)=r(B).

Answer 1

如果r(A)=n
结合r(A)<=min{n,m}
那么必定有（由上三角最简化原理）
m>=n
此外，又知道r(B)<=n
根据秩不增原理
r(AB)=min{r(A),r(B)}
结合r(B)<=n
r(AB)=min{r(A),r(B)}=min{n,r(B)}=r(B)

Answer 2

显然齐次线性方程组
bx=0
的解都是
abx=0
的解
对
abx=0
的任一解
x0
a(bx0)=0
由于
r(a)=n,
齐次线性方程组
ax=0
只有零解
所以
bx0=0
所以
abx=0
的解都是
bx=0
的解
故
abx=0
与
bx=0
同解
所以
m-r(ab)=m-r(b)
所以
r(ab)=r(b)

Answer 3

如果r(A)=n
结合r(A)<=min{n,m}
那么必定有（由上三角最简化原理）
m>=n
此外，又知道r(B)<=n
根据秩不增原理
r(AB)=min{r(A),r(B)}
结合r(B)<=n
r(AB)=min{r(A),r(B)}=min{n,r(B)}=r(B)