Question

急！一道简单的高中数学题！

椭圆的中心在坐标原点、离心率为1/2,一个焦点为F(0,1)。直线L过点F交椭圆与A,B两点且点F分向量AB所成比为2，求直线L的方程

Answer 1

由于离心率为1/2，设椭圆方程为：y^2/(4m^2)+x^2/(3m^2)=1
设A(x1,y1),B(x2,y2)
且由于所的比为2，所以向量AF=2向量FB
即：（-x1,1-y1）=2(x2,y2-1)
所以得到x1=-2x2
y1=-2y2+1
且A,B均在椭圆上，代入解方程组（关于x1,x2,m的），可得A，B坐标，于是有直线的方程。

Answer 2

解：（1）。易得椭圆方程为(x^2/3)+(y^2/4)=1.可设直线L：x=k(y-1).与椭圆方程联立得，(4k^2+3)y^2-8k^2y+4k^2-12=0.(2).设点A(x1,y1),B(x2,y2),F(0,1).则y1+y2=[8k^2]/[3+4k^2].(*).y1*y2=[4k^2-12]/[3+4k^2](**).由题设知，AF=2FB.===>(-x1,1-y1)=2(x2,y2-1).===>y1+2y2=3.(***).由（*），（**），（***）式，消去y1,y2得，k=±(√5)/2.代入x=k(y-1)得直线L的方程：x=±(√5)/2*(y-1).

Answer 3

由于离心率为1/2，
设椭圆方程为：
y^2/(4m^2)+x^2/(3m^2)=1
设A(x1,y1),B(x2,y2)
且由于所的比为2，
所以向量AF=2向量FB
即：（-x1,1-y1）=2(x2,y2-1)
所以得到x1=-2x2
y1=-2y2+1
且A,B均在椭圆上，
代入解方程组（关于x1,x2,m的），
可得A，B坐标，
于是有直线的方程。