Question

X²/12+Y²/3=1的焦点为F1,F2,点P在椭圆上,如果线段PF1的中点在Y轴上,那

X²;/12+Y²;/3=1的焦点为F1,F2,点P在椭圆上,如果线段PF1的中点在Y轴上,那么，|PF1|是|PF2|的几倍？

Answer 1

解析方法：
设椭圆左右焦点分别为F1，F2，连接PF1和PF2，设PF1的中点为M
∵F1F2的中点为原点O
∴直线MO为为三角形PF1F2的中位线
∵MO⊥F1F2 (y轴垂直于x轴)
∴PF2⊥F1F2 （中位线与底线平行）
∴P的x坐标为F2的x坐标
在椭圆X²/12+Y²/3=1中
∵a^2 = 12 (a=2√3)
b^2 = 3 (b=√3)
∴c^2 = a^2 -b^2 = 9
∴c = 3
∴F1的坐标为（-3，0）F2的坐标为（3，0）
将x=3带入椭圆方程可求得P点y坐标绝对值为：
|y| = √[3（1-x^2/12)]=√3/2
∴|PF2|=√3/2
由椭圆的第2定义有
|（|PF1|+|PF2|）|=2a
∴|PF1|=2a+|PF1|=2*2√3-√3/2=7√3/2
∴|PF1|/|PF2|=7:1
即7倍

Answer 2

七倍。