Question

为什么一个特征值不能对应两个线性无关的特征向量？

而且为什么如果对称阵有r重根，则对应的特征值就会有r个线性无关的特征向量，也就是说不是重根的特征值一定对应的是一个特征向量？

Answer 1

请你找一本线性代数课本（数学专业用），其中有一个

定理：对于矩阵A的特征值λ。代数重数≥几何重数。

（代数重数是特征值λ作为特征方程的根的重数。

几何重数是特征值λ所对应的特征子空间的维数。即

λ对应的线性无关的特征向量的个数。）

这个定理的证明不太麻烦。但是这里还是写不出。

顺便说一句，A相似于对角阵的充要条件正是：

对于A的每个特征值，总有：代数重数＝几何重数。

对称矩阵必相似于对角阵，总有：代数重数＝几何重数