Question

1^2+2^2+3^2+4^2+.......+n^2=? 是怎么推得

要的是过程

Answer 1

设S=1^2+2^2+....+n^2

(n+1)^3-n^3 = 3n^2+3n+1
n^3-(n-1)^3 = 3(n-1)^2+3(n-1)+1
...
..
...

2^3-1^3 = 3*1^2+3*1+1

把上面n个式子相加得：(n+1)^3-1 = 3* [1^2+2^2+...+n^2] +3*[1+2+....+n] +n

所以S= (1/3)*[(n+1)^3-1-n-(1/2)*n(n+1)] = (1/6)n(n+1)(2n+1)

也可用数学归纳法

Answer 2

由于(n+1)^3=n^3+3n^2+3n+1
所以
2
^3
=
1
^3
+
3*
1
^2
+
3*
1
+
1
3
^3
=
2
^3
+
3*
2
^2
+
3*
2
+
1
4
^3
=
3
^3
+
3*
3
^2
+
3*
3
+
1
5
^3
=
4
^3
+
3*
4
^2
+
3*
4
+
1
…
…
n
^3
=
(n-1)^3
+
3*(n-1)^2
+
3*(n-1)
+
1
(n+1)^3
=
n
^3
+
3*
n
^2
+
3*
n
+
1
上面所有式子相加，并在两边同时减去相同的项：
(n+1)^3
=
1^3
+
3*[1^2+2^2+3^2+4^2+…+(n-1)^2+n^2]+3*[1+2+3+4+…+(n-1)+n]+n
不妨记[1^2+2^2+3^2+4^2+…+(n-1)^2+n^2]为s。
则n^3+3n^2+3n+1=1+3*s+3*(1+n)*n/2+n
化简得：s=n(n+1)*(2n+1)/6