Question

高二导数。已知圆柱形罐头盒的体积是v(定数),问它的高与底面半径多大能使罐头盒的表面积最小

已知圆柱形罐头盒的体积是v(定数),问它的高与底面半径多大能使罐头盒的表面积最小

Answer 1

V=πR²H,
H=V/(πR²)
S=2πR²+2πRH
=2πR²+2πRV/(πR²)
=2πR²+2V/R,
S'=4πR-2V/R²,
S'=0,4πR-2V/R²=0,
R³=V/(2π),
R=[V/(2π)]开立方,
H=V/(πR²)=2R=[V/(2π)]开立方×2,(高=2×底面半径).

Answer 2

这个不是用导数的吧？应该是用不等式特征的？
设高h,底面半径r
V=πr^2h
h=V/(πr^2)
S=2πr^2+2πrh=2π(r^2+rh)=2π(r^2+V/πr)=2π(r^2+V/2πr+V/2πr)
≥2πsqrt(r^2*V/2πr*V/2πr,3)
=2πsqrt(V^2/4π^2,3)
此时r^2=V/2πr
r=sqrt(V/2π,3)
h=....
所以h/r=
sqrt(V/2π,3),表示V/2π的立方根