Question

设数列an的前n项和为Sn,a1=1,an=Sn/n+2(n-1) （1）求an的通项公式

设数列an的前n项和为Sn,a1=1,an=Sn/n+2(n-1) （1）求an的通项公式(2)是否存在正整数n，使得S1+S2/2+......+Sn/n-(n-1)^2=2009,若存在求出n的值

Answer 1

用a[n]表示第n项
1)a[n]=S[n]/n+2(n-1)
S[n]=na[n]-2n(n-1)
S[n-1]=(n-1)a[n-1]-2(n-1)(n-2)
当n≥2时两式相减:a[n]=S[n]-S[n-1]=na[n]-(n-1)a[n-1]-4(n-1)
整理可得:a[n]-a[n-1]=4
{a[n]}是以a[1]=1,d=4的等差数列
于是:a[n]=1+4(n-1)=4n-3

2)S[n]/n=2n-1,S1/1=1,{S[n]/n}是等差数列，首项为1，公比为2
S[1]+S[2]/2+…+S[n]/n-(n-1)^2=n^2-(n-1)^2=2n-1=2009
∴n=1005.

Answer 2

N值为：7.967