Question

用向量法证明:三角形的外心、重心、垂心共线。

坐标法，设它的外心为原点
其实关于这个这个问题网上是有原题的,但是下载要钱,而且我是用手机上的网,看不了word文档格式的.希望有高手或者好心人帮帮我.

Answer 1

不妨设三角形的外接圆半径为1（如果不是1，就把定点坐标乘以半径）.

设3个顶点为
A(cosa,sina)
B(cosb,sinb)
C(cosc,sinc)

由重心坐标公式,三角形重心为
G( (cosa+cosb+cosc)/3 , (sina+sinb+sinc)/3 )

设
H'(cosa+cosb+cosc,sina+sinb+sinc)

用向量垂直的条件知,AH'⊥BC,BH'⊥AC.

所以,H'与垂心H重合.

易见
向量OH=3向量OG.

故O,G,H三点共线.

Answer 2

设三角形为δabc,o为其中一点,[
]表示向量,∠a,b,c所对边分别为a,b,c
1.若a[oa]+b[ob]+c[oc]=0,则o为内心,角平分线的交点
2.若[oa]+[ob]+[oc]=0,则0为重心,中线的交点
3.若[oa]*[ob]=[ob]*[oc]=[oc]*[oa],则0为垂心,高的交点
4.若[oa]²=[ob]²=[oc]²,则0为外心,中垂线的交点