Question

已知f(x)为定义在(-1,1）上的奇函数，且当x∈(-1,0)时，f(x)=2^x/(4^x+1)。

1，求函数f(x)在定义域上的解析式
2，判断函数的单调区间，并证明

Answer 1

昨天刚给别人答了，我直接复制过来稍微改了下，不过你的没有第三问.你大体看看，做法是一样的，极为类似，其实就是一道题稍微改了下。有兴趣可以点开我答的第三题题目看下。
1,当0<x<1时,-1<-x<0,所以f(-x)=2^(-x)/[4^(-x)+1]=[2^x/(4^x+1)],
又f(x)为奇函数，所以f(-x)=-f(x)，
即-f(x)=[2^x/(4^x+1)]，
所以f(x)=-[2^x/(4^x+1)]，
又f（x）为奇函数，所以f（0）=0

所以函数f(x)在定义域上的解析式为
f(x)=2^x/(4^x+1) x∈(-1,0)，
=0； x=0，
= -[2^x/(4^x+1)] x∈(0,1).

2，f(x)为区间（-1，0）上的增函数,任意-1<x1<x2<0,只要证明f(x1)-f(x2)<0即可。
证明：f(x1)-f(x2)
=2^(x1)/[4^(x1)+1]-2^(x2)/[4^(x2)+1]
=2^x1*[4^(x2)+1]-2^x2*[4^(x1)+1]/[4^(x1)+1]*[4^(x2)+1]
=[2^x1*4^(x2)+2^x1-2^x2*4^(x1)-2^x2]/[4^(x1)+1]*[4^(x2)+1]
=2^x1*2^(x2+x2)+2^x1-2^x2*2^(x1+x1)-2^x2/[4^(x1)+1]*[4^(x2)+1]
=2^(x1+x2)(2^x2-2^x1)-(2^x2-2^x1)/[4^(x1)+1]*[4^(x2)+1]
=[2^(x1+x2)-1](2^x2-2^x1)/[4^(x1)+1]*[4^(x2)+1]

显然，2^(x1+x2)-1<0,
分母[4^(x1)+1]*[4^(x2)+1]>0,
-1<x1<x2<0,2^x为该区间的单增函数，故2^x2-2^x1>0
f(x1)-f(x2)<0,所以f(x)为区间（-1，0）上的增函数。

同理可证f(x)为区间（0，1）上的增函数.（奇函数嘛）

3，其实就是求f(x)在（-1，1）的值域。由于奇函数有很好的单增性，只需求出最小值和最大值即可，f(-1)=-2/5,f(0)=0[因为它是奇函数]，f(1)=2/5,
所以a属于区间（-2/5,2/5）,f(x)=a有解。

Answer 2

(1)x∈(-1，0)时，-x∈(0,1).
f(-x)=2^(-x)/(4^(-x)+1)=
2^x/(4^x+1)
∴f(x)=-
f(-x)
=-
2^x/(4^x+1)
(x∈(-1，0))
对于奇函数来说，f(-x)=-
f(x)
∴f(-0)=-
f(0)
f(0)=0
综上知x∈(0,1)时，f(x)=2^x/(4^x+1)
X=0时，f(0)=0
x∈(-1，0)时，f(x)=
-
2^x/(4^x+1)
(2)0<X1<X2<1时，
f(x1)-f(x2)=
2^x1/(4^x1+1)-
2^x2/(4^x2+1)
=(2^x1•(4^x2+1)-
2^x2•(4^x1+1))/[
(4^x1+1)
(4^x2+1)]
=[(2^x1-
2^x2)+2^(x1+x2)(2^x2-2^x1)]
/[
(4^x1+1)
(4^x2+1)]
=[(2^x1-
2^x2)(1-2^(x1+x2))]
/[
(4^x1+1)
(4^x2+1)]
因为0<X1<X2，所以2^x1<
2^x2
2^(x1+x2)>1,
故f(x1)-f(x2)>0
f(x1)>f(x2)
F(x)在(0，1)上是减函数。
因为函数是奇函数，所以f(x)在(-1，0)上也是减函数。
从而可知，f(x)在(-1，1)是减函数.
(3)当x∈(0,1)时，f(x)=2^x/(4^x+1)=1/(2^x+2^(-x))
2^x+2^(-x)≥2，0<1/(2^x+2^(-x))≤1/2
0<f(x)
≤1/2，
因为函数是奇函数，x∈(-1，0)时，-1/2≤f(x)<0
又f(0)=0
所以函数值域为[-1/2,1/2].

Answer 3

1、由题意知f（0）=0
设x∈(0,1),则-x∈(-1,0),则有

f(-x)=2^(-x)/(4^(-x)+1)=2^x/(4^x+1)

又因为f(-x)=-f(x)
所以 -f(x)=2^x/(4^x+1)

所以 f(x)= -[2^x/(4^x+1)]

函数f(x)在定义域上的解析式为三段的分段函数

当x∈(-1,0)时，f(x)=2^x/(4^x+1)；
当x=0时，f（0）=0；
当x∈(0,1),f(x)= -[2^x/(4^x+1)]

2、原函数的单调区间应该是在（-1,0）为增函数
在（0,1）上也是增函数。