Question

求函数y=ln(1+x^2)的凹凸区间及拐点

Answer 1

y=ln(x^2-1)
y'=2x/(x^2-1)
y''=[2(x^2-1)-2x*2x]/(x^2-1)^2=(-2x^2-2)/(x^2-1)^2=-2(x^2+1)/(x^2-1)^2<0
故无拐点。
定义域是x>1或x<-1
故在区间（-无穷，-1）和（1，+无穷）上都是凸区间。
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类似问题，参考一下：
求函数y=ln(1+x^2)的凹凸区间及拐点
对该函数求导：
y'=2x/(1+x^)
继续求二次导：
y''=[(2x)'*(1+x^)
-
2x*(1+x^)']
/(1+x^)^
=[2(1+x^)-2x*2x]/(1+x^)^
=(2-2x^)/(1+x^)^
=2(1+x)(1-x)/(1+x^)^
很明显，上式中，分母(1+x^)^始终为正，只需对分子中2(1+x)(1-x)的正负进行分辨：
可得出当x=±1时，y''=0,此时f(-1)=f(1)=ln2
故(-1,ln2)与(1,ln2)为函数y的两个拐点
当x∈(-∞,-1)时，分子为负，y''<0，函数y为凸函数
当x∈(-1,1)时，分子为正，y''>0，
函数y为凹函数
当x∈(1,+∞)时，分子为负，y''<0，
函数y为凸函数
故(-∞,-1)和(1,+∞)为y的凸区间，(-1,1)为y的凹区间

Answer 2

对该函数求导：y'=2x/(1+x^)继续求二次导：y''=[(2x)'*(1+x^)
-
2x*(1+x^)']
/(1+x^)^=[2(1+x^)-2x*2x]/(1+x^)^=(2-2x^)/(1+x^)^=2(1+x)(1-x)/(1+x^)^很明显,上式中,分母(1+x^)^始终为正,只需对分子中2(1+x)(1-x)的正负进行分辨：可得出当x=±1时,y''=0,此时f(-1)=f(1)=ln2故(-1,ln2)与(1,ln2)为函数y的两个拐点当x∈(-∞,-1)时,分子为负,y''0,函数y为凹函数当x∈(1,+∞)时,分子为负,y''

Answer 3

y=ln(1+x^2)
y'=2x/(1+x^2),
y"=[(2+2x^2)-4x^2]/(1+x^2)^2
=(2-2x^2)/(1+x^2)^2
y"=0 , x=-1,x=1
x<-1,y"<0 , -1<x<1 ,y">0 ,x>1 ,y"<0

x<-1，凸，-1<x<1，凹，x>1，凸
拐点（-1，ln2),(1,ln2)

Answer 4

对该函数求导：
y'=2x/(1+x^)
继续求二次导：
y''=[(2x)'*(1+x^) - 2x*(1+x^)'] /(1+x^)^
=[2(1+x^)-2x*2x]/(1+x^)^
=(2-2x^)/(1+x^)^
=2(1+x)(1-x)/(1+x^)^
很明显，上式中，分母(1+x^)^始终为正，只需对分子中2(1+x)(1-x)的正负进行分辨：
可得出当x=±1时，y''=0,此时f(-1)=f(1)=ln2
故(-1,ln2)与(1,ln2)为函数y的两个拐点

当x∈(-∞,-1)时，分子为负，y''<0，函数y为凸函数
当x∈(-1,1)时，分子为正，y''>0， 函数y为凹函数
当x∈(1,+∞)时，分子为负，y''<0， 函数y为凸函数

故(-∞,-1)和(1,+∞)为y的凸区间，(-1,1)为y的凸区间