关于矩阵范数的证明题
两矩阵，A非奇异，B奇异。求证||A±B||^(-1)>=||A^(-1)||另有一道题，若||A||<1，求证||I-(I-A)^(-1)||<=||A||/(1-||...
两矩阵，A非奇异，B奇异。求证||A±B||^(-1)>=||A^(-1)||
另有一道题，若||A||<1，求证||I-(I-A)^(-1)||<=||A||/(1-||A||)。只要能证明这两道题中的一道，我就给分 展开
另有一道题，若||A||<1，求证||I-(I-A)^(-1)||<=||A||/(1-||A||)。只要能证明这两道题中的一道，我就给分 展开
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看图片上的证明,第1题不等号写反了.
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使用向量2-范数和无穷范数的如下不等式(证明都很容易):
①
║x║_∞
≤
║x║_2,
②
║x║_2
≤
√n·║x║_∞.
于是对任意向量x,
有:
║ax║_∞
≤
║ax║_2
(由①)
≤
║a║_2·║x║_2
(由2-范数的定义)
≤
√n·║a║_2·║x║_∞
(由②).
再由无穷范数的定义即得║a║_∞
≤
√n·║a║_2.
①
║x║_∞
≤
║x║_2,
②
║x║_2
≤
√n·║x║_∞.
于是对任意向量x,
有:
║ax║_∞
≤
║ax║_2
(由①)
≤
║a║_2·║x║_2
(由2-范数的定义)
≤
√n·║a║_2·║x║_∞
(由②).
再由无穷范数的定义即得║a║_∞
≤
√n·║a║_2.
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