Question

在任意给定的n个正整数中，总可以找到n个数，它们的和是n的倍数

知道要用抽屉原理，可是怎么找？找那个？详细一点……

Answer 1

很多同学在运用抽屉原理，尤其是在进行抽屉原理的构造论证时，经常找不到突破点，试以以下一例给大家一些启示。
例：从任意八个自然数中，一定可以找到六个数，记为a、b、c、d、e、f，使得105|(a－b)(c－d)(e－f)。
分析：此题题目条件相当简单，题干中一个数字都没有出现，而问题中却有一个105，而且涉及到105整除某一乘积。从问题出发，我们可以想到在学习整除问题时的一个基本定理，即若A、B互质，AB|C，则A|C且B|C，这个命题的逆命题即若A、B互质，A|C且B|C，则AB|C也成立。105可以整除一个数，那么只要3、5、7分别整除这个数即可（105＝3×5×7）。由此我们将题目的解决思路进了一步。
接下来，任意八个数的条件如何运用就是解决问题的关键，前面提到乘积应该可以被3、5、7整除，其中的7这个数应该可以让我们得到一些灵感。在抽屉原理构造解题中，一般说来“苹果”数量总是比“抽屉”数量多1，如果将8个数看作8个苹果，那么我们只需要构造7个抽屉即可。如果说大家对同余问题有所了解的话，那么就应该想到同余两数之差可以被除数整除，在105|(a－b)(c－d)(e－f)这一结论中，乘积正好是三个差相乘的形式，这样整个题目的解题思路就很清晰了。
首先，7除一个自然数的余数为0—6，共有7种，将其视为7个抽屉，将8个数放入7个抽屉中，至少有2个同余，将同余的2个数选出，记为a、b，一定有7|(a－b)。
接下来8个数还剩下6个，5除一个自然数的余数为0—4，共有5种，将其视为5个抽屉，将6个数放入5个抽屉中，至少有2个同余，将同余的2个数选出，记为c、d，一定有5|(c－d)。
再操作一次，余下了4个数，3除一个自然数的余数为0—2，共有3种，将其视为3个抽屉，将4个数放入3个抽屉中，至少有2个同余，将同余的2个数选出，记为e、f，一定有3|(e－f)。
综上所述，我们可以得出3×5×7|(a－b)(c－d)(e－f)即105|(a－b)(c－d)(e－f)。
从上题可以看出，解决抽屉原理构造论证问题时，一般不是单纯以抽屉原理的形式出现，更多的情况下是伴随整除、同余等问题；还有就是构造过程中的一个寻找“抽屉”的规律就是“抽屉”的数量一般比“苹果”少1，希望同学们对这道题好好回顾思考一下，窥一斑见全豹。