Question

如图,抛物线y=-x^2+bx+c与x轴交于a(1,0),b(-3,0)两点,

如图,抛物线y=-x^2+bx+c与x轴交于a(1,0),b(-3,0)两点,
（1）求该抛物线的解析式
（2）设（1）中的抛物线交于y轴于C点，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得△QAC的周长最小？若存在，求出Q点坐标；若不存在，请说明理由
（3）在（1）中的抛物线上的第二象限上是否存在一点P，使△PBC的面积最大？若存在，求出点P的坐标及△PBC的面积最大值，若没有，请说明理由。

Answer 1

1.
依题意知，x1=1，x2=-3是一元二次方程-x^2+bx+c=0的两个实数根
则：
x1+x2=-2=b
x1*x2=-3=-c
所以，b=-2，c=3
则，抛物线解析式为：y=-x^2-2x+3

2.
由(1)知，y=-x^2-2x+3，则x=0时，y=3
所以，点C(0,3)
且，抛物线对称轴为x=-b/2a=-1
△QAC的周长=QA+QC+AC，其中AC长度一定，那么当QA+QC最小时，△QAC的周长达到最小
因为A、B两点关于对称轴x=-1对称，则QA=QB
所以，QA+QC=QB+QC
那么，当Q、B、C三点在同一直线上时，QB+QC=BC为最小
已知点B(-3,0)，C(0,3)
所以，过B、C的直线为：y=x+3
那么它与对称轴x=-1的交点为y=-1+3=2
即，存在点Q(-1,2)使得△QAC周长最小.

3.
由前面知，BC所在直线为y=x+3，即x-y+3=0
且BC=√[(-3-0)^2+(0-3)^2]=3√2
设第二象限上有点P(a,-a^2-2a+3)（-3＜a＜0）
那么，点P到直线x-y+3=0的距离【即△PBC中BC边上的高h】为：
d=h=|a-(-a^2-2a+3)+3|/√[1^2+(-1)^2]
=|a^2+3a|/√2
=-(a^2+3a)/√2
=(-1/√2)*[a^2+3a+(9/4)]+(9/4√2)
=(-1/√2)*[a+(3/2)]^2+(9/4√2)
则，当a=-3/2时，d有最大值=(9/4√2)
所以，S△PBC=(1/2)*BC*h=(1/2)*3√2*（9/4√2)=27/8
此时：点P(-3/2,15/4).

Answer 2

y=-x²-2x+3

对称轴：x=-1
使得△QAC的周长最小，即QC+QA最小，A点的对称点为B点，连接BC和对称轴的交点即Q点。Q（-1，2）

使△PBC的面积最大，即抛物线上到直线BC距离最远，做BC的平行线y=x+b
带入抛物线：x²+3x+b-3=0
判别式=0
9=4（b-3) ，b=21/4
直线：y=x+ 21/4 和抛物线的交点P（-3/2 ，15/4）
到BC的距离=（21/4 -3 ）/√2
BC=3√2
S△PBC=27/8