Question

高数求定义域问题

y=arcsin(2x/1+x)求定义域
y=arccos(2x/1+x^2)求定义域及值域
帮我过程写下,谢啦

Answer 1

一楼那位解法是对的，但是第一题算错了
解:（1）y=arcsin(2x/1+x)
要使函数有意义则
1+x≠0 且 -1≤2x/（1+x）≤1
解得:-1/3<=x<=1 即定义域为[-1/3,1]
（2）y=arccos(2x/1+x^2)
要使函数有意义则
-1≤2x/（1+x^2）≤1
解得:x∈R，即定义域为(-∞,+∞)
令t=2x/1+x^2，y=arccost值域为[0,π]

附:y=arcsinx的定义域为[-1,1]，值域为[-π/2,π/2]
y=arccosx的定义域为[-1.1],值域为[0，π]
y=arctanx的定义域为R，值域为(-π/2,π/2)
y=arccotx的定义域为R，值域为(0，π)
这些是初等函数要掌握的，楼主记下来以后 遇到这些问题都不用怕了

Answer 2

解：
（1）y=arcsin(2x/1+x)
要使函数有意义则
1+x≠0 且 -1≤2x/（1+x）≤1
解得：-1＜x≤-1/3
（2）y=arccos(2x/1+x^2)
要使函数有意义则
-1≤2x/（1+x^2）≤1
解得：x的解集为全体实数。
值域：
先求出t=2x/（1+x^2）在x为全体实数的值域
t=2x/（1+x^2）
t（1+x^2）=2x
tx^2-2x+t=0
要使函数t=2x/（1+x^2）有意义，则方程 tx^2-2x+t=0必有解
即上述方程的Δ=（-2）^2-4t*t=4-4t^2≥0
解得-1≤t≤1
即-1≤2x/（1+x^2）≤1
所以对于反余弦函数y=arccos(2x/1+x^2)在x取全体实数时余弦值
2x/（1+x^2）能取到-1到1的所有值
所以根据反余弦函数的性质 0≤y≤π
所以值域为：【0，π】