Question

求不定积分∫x^2/根号下(x^2+a^2) dx (a>0)

Answer 1

∫x^2/√(a^2+x^2)dx
=∫(x^2+a^2-a^2)/√(a^2+x^2)dx
=∫√(x^2+a^2)dx-a^2∫dx/√(a^2+x^2)
=x√(x^2+a^2)- ∫x√d(x^2+a^2)dx-a^2arsh(x/a)
= x√(x^2+a^2)- ∫x^2dx/√(x^2+a^2)-a^2(ln(x/a+√(1+(x/a)^2)),
2∫x^2dx/√(x^2+a^2)= x√(x^2+a^2)-a^2{ln[x+√(a^2+x^2)]},
∴∫x^2dx/√(a^2+x^2)= x√(a^2+x^2)/2-a^2ln[x+√(a^2+x^2)]/2+C
这里用到分部积分和反双曲正弦函数arshx。

Answer 2

作代换x=sht,或者x=tant，然后就会化的很简单（注意前一种方法中(sht)^2可以化成(ch2t-1)/2)

Answer 3

∫[x^2/√(x^2+a^2)]dx
=∫{[(x/a)^2/√[(x/a)^2+1]}dx
=a∫{1-1/√[(x/a)^2+1]}d(x/a)
=(1/2)a(x/a)^2-a*arctan(x/a)+c
=[1/(2a)]x^2-a*arctan(x/a)+c