Question

一道简单的高数题，麻烦高手帮忙！

设函数f（x）={x的平方sin1／x x≠0 1 x=0 则点x=0是函数的哪一内间断点？ 为什么？

Answer 1

当x->0时 sin1/x是有界函数，在-1和1之间振荡 x^2=0是无穷小
无穷小乘以有界函数等于无穷小
所以左极限limx^2sin1/x(是无穷小)=0 右极限=1
左右极限存在且不相等 所以此点是可去间断点，属于第一类间断点
只要补足条件f(0)=1 即可使函数连续

备注：如果左右极限有一个不存在 那么就是振荡间断点
像函数f(x)=sin1/x，在x=0时无定义
lim(x->0)sin1/x 极限不存在 而一直在-1和1之间振荡，是振荡间断点，属于第二类间断点

Answer 2

解：第一类间断点里的可去间断点。

间断点的有关概念：
设Xo是函数f(x)的间断点，那么
1°如果f(x-)与f(x+)都存在，则称Xo为f(x)的第一类间断点。又如果
（i），f(x-)=f(x+),则称Xo为f(x)的可去间断点。
（ii），f(x-)≠f(x+),则称Xo为f(x)的跳跃间断点。
2°不是第一类间断点的任何间断点，称为第二类间断点。
第二类间断点：函数的左右极限至少有一个不存在。
a.无穷间断点：y=tanx，x=π/2
b.震荡间断点：y=sin(1/x),x=0
对此题可以证明右极限和左极限都为0，所以是可去间断点：
右极限：f(x+)=x^2sin(1/x)（x>0）
左极限：f(x-)=x^2sin(1/x) (x<0)
可以证明当x趋于0时，f(x+)=f(x-)=0.

证：limf(x+)=0(x趋于0)
0<limf(x+)=x^sin(1/x)<=x^2(sin(1/x)<=1)(用夹逼定理，求x趋于0时的极限)
0<limf(x+)<=limx^2=0
所以：limf(x+)=0（x趋于0时）
左极限可以用类似方法证明。

分析：
虽然sin(1/x)在x趋于0时是震荡间断点，但前面有系数x^2，其极限是趋于0的，所以最终是可去间断点。