Question

如图，点A是半圆上的三等分点，B是劣弧AN的中点，P是直径MN上的一动点，圆O的半径

如图，点A是半圆上的三等分点，B是劣弧AN的中点，P是直径MN上的一动点，圆O的半径为1，问：P在直线MN上什么位置时，AP+BP的值最小？并求出AP+BP的最小值

Answer 1

如图，在另一半圆上取点A关于直径MN的对称点C,连接PC,则AP=CP、 AP+BP=CP+BP.

当B、P、C三点共线时，CP+BP=BC；

当B、P、C三点不共线时，CP+BP＞BC（三角形两边之和大于第三边）。

可见，当B、P、C三点共线时，AP+BP的值最小，其值等于BC。

连接OB、OC。 ∠BOC=弧BN度数+弧CN度数=30°+60°=90°，

所以BOC为直角等腰三角形，BC=√2BO=√2.