Question

已知函数f(x)=x^3+ax^2-x+b在区间(1,3)上单调递减,求a的取值

Answer 1

解:对该函数求导,f'(x)=3x^2-2ax-1
注意下面是关键:
该题目可以等价于f'(x)<=0对于x∈(1,3)恒成立 (而不是楼下说的解不等式.如果解了不等式,就走上不归路了)
即3x^2-2ax-1<=0对于x∈(1,3)恒成立
因为x>0,所以两边可以同时除以x(分离参数a),得:2x-2a-1/x<=0
对于x∈(1,3)恒成立,即x-1/(2x)<=a对于x∈(1,3)恒成立
下面又是关键:
于是等价于:[x-1/(2x)]max (最大值)<=a对于x∈(1,3)成立
因为函数y=x-1/(2x)在(1,3)上是增函数,虽然最大值取不到,但是
代入x=3仍然符合上面的不等式(可以画图分析一下)
于是有3-1/6<=a 所以,a>=17/6
即a的取值范围为[17/6,+∞)

类似这种题目一定要转化到恒成立问题上去做,然后化归为求函数的最值问题(想必楼主的老师也讲过),如果
去解不等式,就真的是走上不归路了啊...

Answer 2

导数为3x^2+2ax，令其大于等于零。解该不等式，使其解集为(1，3)。