Question

椭圆与直线的问题

直线x+y=1与椭x²/a²+y²/b²=1（a>b>0)相交于P、Q两点，且OP⊥OQ（O为坐标原点）
（1）求1/a²+1/b²的值
（2）若椭圆的离心率e=（√3）/2，求次椭圆的方程

Answer 1

(1)
联立直线与椭圆方程
{x+y=1
{x^2/a^2+y^2/b^2=1
得:
(a^2+b^2)x^2-2a^2•x+a^2•(1-b^2)=0�
设P(x1,y1),Q(x2,y2)
根据韦达定理:
{x1+x2=2a^2/(a^2+b^2).................(1)
{x1x2=a^2(1-b^2)/a^2+b^2..............(2)
∵OP⊥OQ
∴x1x2+y1y2=0
又∵y1=1-x1,y2=1-x2
∴2x1x2-(x1+x2)+1=0
将(1)(2)代入:
2a^2b^2=a^2+b^2
即:1/a^2+1/b^2=2

(2)
∵e=c/a
∴b^2=a^2-a^2e^2.................(3)
又∵2a^2b^2=a^2+b^2..............(4)
联立(3)(4):
2-e^2=2a^2(1-e^2)
∴a^2=(2-e^2)/(2-2e^2)
将e=√3/2代入:
a^2=(2-3/4)/(2-3/2)
=5/2
∴b^2=5/8
即椭圆方程为:
2x^2/5+8y^2/5=1

楼上的在(2)解答中错了,a^2+b^2≠c^2
椭圆应该是:a^2-b^2=c^2

Answer 2

（1）联立直线和椭圆的方程，消去y整理得：x²（a²+b²）-2a²x+a²-a²b²=0
即c²x²-2a²x+a²-a²b²=0
设P（x1，y1），Q（x2，y2）
则x1x2=（a²-a²b²）/c²
x1+x2=2a²/c²
由于y=1-x，则y1y2=（1-x1)（1-x2）=1-（x1+x2）+x1x2
由于OP⊥OQ，所以x1x2+y1y2=0
故x1x2+1-（x1+x2）+x1x2=0
即2x1x2-(x1+x2)+1=0
把x1x2和x1+x2换掉，再把c²换回来，整理得：a²+b²=2a²b²
∴1/a²+1/b²=（a²+b²）/（a²b²）=2
（2）由a²+b²=2a²b²得c²=2a²b²
两边除以a²，得e²=2b²
解得b²=3/8
而c/a=√3/2，故c²=（3/4）a²
因此b²=3/8=a²-（3/4）a²=（1/4）a²，解得a²=3/2
因此该椭圆的方程为（2x²/3）+（8y²/3）=1

Answer 3

证明
：设直线AB的
方程为y=kx+m,A点(x1,y1)，B点(x2,y2)设中点为M(x′,y′)
则联立方程组得：（b²+a²k²）x²+2a²kmx+a²m²+a²m²-a²b²=0
则x′=（x1+
x2）/2=-a²km/（b²+a²k²）
y′=（y1+
y2）/2=-a²k²m/（b²+a²k²）+
m
再设MP的直线方程为y=-1/kx+m′
因为直线与X轴交于P（x0，0）带入方程得0=-1/kx0+m′
即m′=1/kx0
则MP的直线方程为y=-1/kx+1/kx0
带入M(x′,y′)得y′=-1/k
x′+1/kx0
则-a²k²m/（b²+a²k²）+
m=-1/k
[a²km/（b²+a²k²）]+1/kx0
即得km=
x0（b²+a²k²）/（a²-b²）
带入x′得：x′=-
a²x0/（a²-b²）因为-2
a＜
x1+
x2＜2
a，所以-a＜x′＜a
即-a＜-
a²x0/（a²-b²）＜a
即-（a²-b²）/
a＜x0＜（a²-b²）/
a

Answer 4

设直线方程为y=ax+b，直线与椭圆两交点为(x1,y1)，(x2,y2)
则有：x1+x2=2，y1+y2=2
y=ax+b代入椭圆方程得：x^2/4+(ax+b)^2/9=1
化简得：(1/4+a^2/9)x^2+2ab/9*x+b^2/9-1=0
则直线与椭圆的两交点横坐标满足x1+x2=-(2ab/9)/(1/4+a^2/9)=-8ab/(4a^2+9)=2
（1）
将直线方程化为x=y/a-b/a代入椭圆方程得：(y/a-b/a)^2/4+y^2/9=1
化简得：(1/9+1/4a^2)y^2-b/2a^2*y+b^2/4a^2-1=0
则直线与椭圆的两交点纵坐标满足y1+y2=-(-b/2a^2)/(1/9+1/4a^2)=18b/(4a^2+9)=2
（2）
联立（1）（2）解得
a=-9/4，b=13/4
所以直线方程为9x+4y-13=0