Question

过点P（-4，2）的直线l与圆x^2+y^2=25交于A,B两点

（1）如果｜AB｜=6，求直线l的方程

Answer 1

当直线与x轴垂直，则L方程为x=-4
圆心（0，0），半径5
圆心到L的距离是4，而半径是5，所以半截弦长为√5²-4²=3
弦长为6，符合题意思，所以直线L的方程可以为x=-4

当直线不与x轴垂直时，设L：y-2=k（x+4）
即kx-y+4k+2=0
圆心到直线的距离的平方为|4k+2|²/(k²+1）
而半径的平方等于25
半截弦长的平方为9
根据勾股定理有：25-9=|4k+2|²/(k²+1）
解得k=3/4
所以此时L的方程为y-2=（3/4）（x+4）即y=（3/4）x+5

Answer 2

解：设：l的方程为y=kx+2+4k(k≠0），A的座标为（x1.y1),B的座标为(x2,y2) 所以有（kx0+2+4k)^2+x0^2=25,则x1,x2是方程 (k^2+1)x^2+(4k+8k^2)x+16k^2+16k-21=0的两根 则有x1+x2=(-4k-8k^2)/(k^2+1),x1x2=(16k^2+16k-21)/(k^2+1)（韦达定理） 所以｜AB｜=根号[(x1-x2)^2+(y1-y2)^2]=根号[(1+k^2)(x1-x2)^2]=根号{(1+k^2)[(x1+x2)^2-4x1x2]}=6 将 x1+x2=(-4k-8k^2)/(k^2+1),x1x2=(16k^2+16k-21)/(k^2+1) 代入整理得64k=48，k=0.75,则l的方程为y=0.75x+5
k=0时，y=2，则｜AB｜=8，不符合题意
当直线与y轴平行时，x=-4,此时｜AB｜=6，符合题意
综上所述，y=0.75x+5或x=-4
答：y=0.75x+5或x=-4

（此方法有点虽有点麻烦，但也适用於圆锥曲线）