Question

一个初三几何题

在△ABC中,CA=CB,∠A=30°,D为AB的中点.以D为顶点作∠EDF=60°, ∠EDF两边分别交AC,CB于EF两点.
如图1,当点EF在边AC BC上时,试探究:①DE/DF= ②线段CE,CF,AC之间存在怎样的数量关系. 并证明你的结论.

(图如下, 结论我知道 主要是证明)谢谢各位了

Answer 1

1、从D点作DG，使〈GDB=〈ADE，

△ABC中，

∵CA=CB，

〈EAD=〈GBD=30度，〈ACB=180度-30度-30度=120度，

AD=BD，

〈GDB=〈ADE，

∴△AED≌△BGD，

∴DE=DG，，

〈DGB=〈AED，

〈CED+〈AED=〈DGB+〈FGD=180度，

〈FGD=〈CED，

又〈EDF+〈ECF=120度+60度=180度，

E、D、F、C四点共圆，

〈DFG=〈CED（圆内接四边形外角等于内对角），

∴〈FGD=〈GFD，

DG=DF，

∴DF=DE，

∴DE/DF=1。

（2）、取AC中点H，连结DH，

H是RT三角形ADC斜边的中点，AH=CH=DH，

〈HCD=120度/2=60度，

三角形CHD是正三角形，

CD=HD，

由前所述，DF=DE，

〈HDE=60度-〈CDE，

〈CDF=60度-〈CDE，

〈HDE=〈FDC，

∴△HED≌△CDF，

∴CF=HE，

∴CE+CF=HC=AC/2。