Question

微积分计算

y"+4y'+4y=0满足初值条件y(0)=0,y'(0)=1的特解是（y=xe^-2x）
括号中的是答案，求具体过程
注意：题目要求我们求得是特解，而不是通解

Answer 1

解：y"+4y'+4y=0变形为：
(y'+2y)'+2(y'+2y)=0
令u=y'+2y
则u’+2u=0
如果u≠0，那么
du/u=-2dx
ln|u|=-2x+c
|u|=e^(-2x+c)
u=Ce^(-2x) (C为非0常数)
又因为y(0)=0,y'(0)=1
所以u(0)=y'(0)+2y(0)=1
所以综上u=e^(-2x)
即y'+2y=e^(-2x)
左右同乘e^(2x)得到：
y'e^(2x)+2e^(2x)y=1
[e^(2x)y]'=1
e^(2x)y=x+c'
因为y（0）=0
所以c’=0
即：e^(2x)y=x
故y=xe^（-2x）

Answer 2

特征方程为r^2+4r+4=0所以特征解r=-2（重根）
所以解为:y=(c1+c2x)*e^(rx)=(c1+c2x)*e^(-2x)
带入初始条件得到c1=0,c2=1
所以y=xe^（-2x）

Answer 3

r的平方+4r+4=0 把r算出来 因为它是2次线性方程 然后利用 y=c1e的r1x次方+c2e的r2x次方 带入算好的 r1 r2 然后把 y=c1e的r1x次方+c2e的r2x次方 求导 在把2个已知条件带入 算出 C1 C2就可以了.. 因为这个打字实在是麻烦.. 只能看你能不能理解了