Question

证:y=1/x乘sin1/x在区间(0,1]上无界,但这函数不是x趋于0+时的无穷大.

Answer 1

取点列1/(pi/2), 1/(2pi+pi/2), 1/(4pi+pi/2),...显然这点列趋近于零。
当x在此点列中取值时，sin(1/x)始终是1，而1/x越来越大。任取M>0，则显然能找到自然数N，f(1/(Npi+pi/2))>M。故而无界。

0+处无穷大的定义是：如果对于任意大的正数K，都能找到一个正数d，使得0<x<d时，f(x)>K。而此处，选定一个K后，无论取多小的正数d，都能找到自然数m，使得x = 1/m(pi)处的函数值为零。因为sin(1/x) = sin(m pi) = 0。
故而不满足无穷大定义。

Answer 2

根据定义证明：
首先，任意0<M≤1，存在x，取1/x∈(M,+∞)，使得sin1/x=1，y=1/x*sin(1/x)=1/x＞M；
然后，任意M＞1，存在x，取x∈(0，M)，使得sin1/x=1，y=1/x*sin(1/x)=1/x＞M，
所以，任意M＞0，存在x，使得y=1/x*sin(1/x)在(0,1]上无界。

第二问还没看。。。一会儿的吧。。。