Question

数学高手来！跪求三道数学高考题，有追加

1.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a,b,c，且满足cos(A/2)=(2√5)/5, 向量AB乘以向量AC的等于3。
（1）。求△ABC的面积 （2）。若b+c=6,求a的值

2.设函数f(x)=cos(2x+（π/3）)+sinx^2.
（1）。求函数f(x)的最大值和最小正周期
（2）。设A、B、C为△ABC的三个内角，若cosB=1/3,f(c/2)=-1/4,且C为锐角，求sinA

3.已知向量a=（sinθ,-2）与向量b（1，cosθ)互相垂直，其中θ∈（0，π/2）。
（1)求sinθ和cosθ的值。
（2)若sin(θ-φ)=（√10）/10，0＜φ＜π/2，求cosφ的值

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Answer 1

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Answer 2

（1）cos(A/2)=(2√5)/5=>cosA=2cos(A/2)^2-1=3/5 显然A<90
sinA=4/5
向量AB乘以向量AC的等于3=>AB*AC*cosA=3=>AB*AC=5
=>△ABC的面积=1/2*AB*AC*sinA=2
AB*AC=5即bc=5 又b+c=6 a^2=b^2+c^2-2bccosA=(b+c)^2-2bc-2bccosA=20
=> a=2√5
(2)f(x)=cos(2x+（π/3）)+sinx^2=1/2*cos2x-√3/2*sin2x+1/2*(1-cos2x)
=1/2-√3/2*sin2x
故求函数f(x)的最大值为1/2+√3/2，最小正周期为π
f(c/2)=-1/4=>1/2-√3/2sinC=-1/4=>sinC=√3/2 又C为锐角=>C=60
sinA=sin(B+C)=sinBcosC+sinCcosB=2√2/3*1/2+1/3*√3/2=√2/3+√3/6
(3)向量a=（sinθ,-2）与向量b（1，cosθ)互相垂直=>sinθ*1+cosθ*(-2)=0
=>sinθ=2cosθ
=>sinθ=2√5/5 cosθ=√5/5
sin(θ-φ)=（√10）/10=sinθcosφ-cosθsinφ
=>2cosφ-sinφ=√2/2
cosφ^2+sinφ^2=1 =>cosφ=√2/2