Question

函数题求证周期函数

见图片

Answer 1

解：f(x)=f(x+a-a)=[f(x+a)f(a)+1]/[f(a)-f(x+a)]
=[f(x+a)+1]/[1-f(x+a)]
则f(x+a)=[f(x+2a)+1]/[1-f(x+2a)],将其代入上面的式子中，化简得
f(x)=-1/f(x+2a)
则f(x+2a)=-1/f(x+4a),继续代入，有
f(x)=f(x+4a)
因为f(x)和f(a)都有意义，则x+4a也有意义
则f(x)是周期为4a的函数

Answer 2

因为f(x-y)=f(x)f(y)+1/f(y)-f(x)
所以f(y-x)=f(x)f(y)+1/f(x)-f(y)=-f(x-y)
因为f(x)的定义域关于原点对称。
所以f(x)是奇函数，由f(a)=1,得f(-a)=-1
f(a-（-a）)=f(a)f(-a)+1/f(-a)-f(a),f(2a)=0
所以f(x-(x-2a))=f(x)f(x-2a)+1/f(x-2a)-f(x)=0
所以f(x)f(x-2a)+1=0，f(x)f(x-2a)=-1，f(x+2a)f(x)=-1
所以f(x-2a)/f(x+2a)=1,f(x-2a)=f(x+2a)
所以f(x)为周期函数。