Question

求解一道数列题~

已知由依次增大且大于1的连续正整数组成的数列a(1)，a(2)，……，a(n),……，满足lg2+lg(1+1/a2)+……+lg(1+1/an)=lgn,求n的最大值及此时的a1+a2+……+an.

Answer 1

lg(1+1/a(n))=lg( (a(n)+1)/a(n))=lg( a(n+1)/a(n) )
可知
lg2+lg(1+1/a2)+……+lg(1+1/an)
= lg2+lg(a3/a2)+……+lg( a(n+1)/a(n) )
= lg( 2* (a3/a2) * (a4/a3) * a(n+1)/a(n) )
= lg( 2*a(n+1) /a2 )
= lg( 2*(a2+n-1) /a2 )
= lgn
等式两边去掉lg，得
2*(a2+n-1)/a2=n

a2 = (2n-2)/(n-2)
= 2 + 2/(n-2)

因为a2>2且a2为正整数，所以2/(n-2)必须为整数
满足此条件的n有4或3或1
所以n的最大值为4，此时数列为2,3,4,5
故a1+a2+……+an = 2+3+4+5 = 14

Answer 2

lg2+lg(1+1/a2)+……+lg(1+1/an)=lgn

lg(1+1/an)=lgn-lg(n-1)=lg(n/(n-1))

1+1/an=n/(n-1)=1+1/(n-1)

an=n-1

(n>=2)

lg(1+1/a2)=0

题目似乎有问题……

Answer 3

很简单哈
首先你看看 这道题有哪些关键点：1.正整数大于一。 2.依次连续。3.lgx的运算
所以你可以看出
左边=lg2+lg(1+1/a2)+.......+lg(1+1/an)=lg{2*\[(a2+1)/a2]*.....*[
(an+1)/an]}=lg{2*(an+1)/a2}=lgn
所以2*(a2+n-1)/a2=n， a2=(n-1)/(n/2-1) 为整且》3 所以a2=2*[1+1/(n-2)] so n max=3 a2=3 so S=2+3+4=9