Question

一个微分方程的解

补充一点：我初三~~刚刚把微积分初步学完，想看看微分方程的解法是什么样的。所以请高手们写的尽量通俗点。。谢谢
6dy/dx+y-x=25
我用积分因子的办法解出来是y=【∫（25+x）/6 *e^(-1/6*x)dx+C】*e^(-1/6x)请问是对的吗
还有就是2楼的y=x+19+Ce^(-x/6) 解的意义是什么 可以不可以简单说一下 麻烦了。

Answer 1

呵呵，初三就自学微分方程了，很牛啊~!
因为有一些基本问题需要说，分四部分讲这个问题吧：
1、形如dy/dx=ay的形式（a是常数，不为0）：分离变量：dy/y=adx，两边积分得到通解：ln|y|=ax+C，或者y=C*e^(ax)。
2、对于dy/dx=ay方程的另一种解法：我们知道，[y*e^(ax)]'=e^(ax)*(y'+ay)；[y*e^(-ax)]'=e^(-ax)(y'-ay)，也就是说，对于y'-ay=0，左边只要乘上e^(-ax)就可以变成函数[y*e^(-ax)]的导数了，右边乘以因子e^(-ax)还是0，方程变成：[y*e^(-ax)]'=0,积分就得：y*e^(-ax)=C，y(x)=C*e^(ax)，这种方法称为积分因子法。
3、这样，我们就可以解决这样一类方程了：dy/dx+ay-f(x)=0，其中a是不为零的常数，f(x)是关于x的函数。y'+ay=f(x)，左边右边同乘以e^(ax)[积分因子]，变成[y*e^(ax)]'=f(x)*e^(ax)，两边积分，y*e^(ax)=C+∫f(x)*e^(ax)dx，即通解是y(x)=e^(-ax)*[C+∫f(x)*e^(ax)dx]。
4、对于你举的例子，就是6y'+y=25+x，按照3中的讨论，约去y'前系数：y'+1/6*y=1/6*(25+x)，也就是3中的方程y'+ay=f(x)的形式，可以试着解解看。

Answer 2

解：先解齐次方程6dy/dx+y=0.
∵6dy/dx+y=0 ==>dy/y=-dx/6
==>ln|y|=ln|C|-x/6 (C是积分常数)
==>y=Ce^(-x/6)
∴解齐次方程6dy/dx+y=0的通解是y=Ce^(-x/6) (C是积分常数)
再求6dy/dx+y-x=25通解。
设原方程的通解是 y=C(x)e^(-x/6) (C(x)是关于x的函数)
∵y'=C'(x)e^(-x/6)-C(x)/6e^(-x/6)
代入原方程得 C'(x)=(x+25)e^(x/6)/6
∴C(x)=1/6∫(x+25)e^(x/6)dx
=(x+25)e^(x/6)-∫e^(x/6)dx
=(x+25)e^(x/6)-6e^(x/6)+C (C是积分常数)
∴y=[(x+25)e^(x/6)-6e^(x/6)+C]e^(-x/6)
=x+19+Ce^(-x/6)
故原方程的通解是 y=x+19+Ce^(-x/6)

Answer 3

不错呀，初三就学微积分了。
这是常微分方程中的一阶线性方程，其标准解法是常数变易法。一时很难说清的，建议你看一下微积分教材中的相关章节。微分方程根据种类有不同解法，并无固定的套路，建议自己去钻研