Question

托勒密定理的证明？

托勒密定理：
圆内接四边形ABCD的两组对边乘积的和等于它的两条对角线的乘积，即AB*CD+AD*BC=AC*BD。
请证明？先谢谢了。

Answer 1

过C作CP交BD于P,使∠1=∠2,又∠3=∠4,∴△ACD∽△BCP.
又∠ACB=∠DCP,∠5=∠6,∴△ACB∽△DCP.
①+②得 AC(BP+DP)=AB·CD+AD·BC.
即AC·BD=AB·CD+AD·BC.

Answer 2

可以用三角形相似，也可以用平面向量，
个人认为平面向量最简单

Answer 3

在任意四边形abcd中，作△abe使∠bae=∠cad
∠abe=∠
acd
　　因为△abe∽△acd
　　所以
be/cd=ab/ac,即be·ac=ab·cd
(1)
　　又有比例式ab/ac=ae/ad
　　而∠bac=∠dae
　　所以△abc∽△aed相似.
　　bc/ed=ac/ad即ed·ac=bc·ad
(2)
　　(1)+(2),得
　　ac(be+ed)=ab·cd+ad·bc
　　又因为be+ed≥bd
　　（仅在四边形abcd是某圆的内接四边形时，等号成立，即“托勒密定理”）
　　所以命题得证

Answer 4

如图，四边形ABCD内接于圆O，那么AB*CD+AD*BC=AC*BD
证明：
作∠BAE=∠CAD，交BD于点E
∵∠ABE=∠ACD，∠BAE=∠CAD
∴△ABE∽△ACD
∴AB/AC=BE/CD
∴AB*CD=AC*BE
∵∠BAC=∠EAD，∠ACB=∠ADE
∴△ABC∽△AED
∴BC/DE=AC/AD
∴BC*AD=AC*DE
∴AB*CD+BC*AD=AC*BE+AC*DE=AC（BE+DE）=AC*BD