Question

求解一道简单的大一微积分题目，题目在图片中

Answer 1

对于分段函数求分段点处的导数只能用导数的定义去算
所以f'(0)=lim(x→0)[f(x)-f(0)]/(x-0）
=lim(x→0) (1-cos2x)/x^2
=lim(x→0) [(2x)^2]/x^2=2
最后一个等式用的是等价无穷小 1-cosx=(x^2)/2

Answer 2

那个。。。首先，我想先口述一下：
把上面≠0的式子定为①式，＝0的式子定为②式
在①式中，1－cos2x＝2sin²x
limsinx／x＝1（重要极限Ⅰ），所以当x→0时，①式的极限＝2sin0＝0
∴f（x）连续
f′（x）＝（2sinx）′＝2cosx
f′（0）＝2cos0＝2
就是这样~不知道能不能帮上你

Answer 3

f'(0)=lim(x→0) [f(x)-f(0)]/x-0 = lim(x→0) f(x)/x
因为当x→0时，x毕竟不为0，所以：
f'(0)
=lim(x→0) (1-cos2x)/x^2
=lim(x→0) 2sin2x/2x
=lim(x→0) sin2x/x
=2

Answer 4

f′(0) = lim(x→0) [f(x) - f(0)] / (x-0)
= lim(x→0) [ (1-cos2x)/x] /x
= lim(x→0) (1-cos2x)/x²
= lim(x→0) (1 - 1 + 2sin²x) /x²
= lim(x→0) 2sin²x/x² (用等价无穷小sinx ~ x)
= lim(x→0) 2x²/x²
= 2