Question

数学题 麻烦看下啊

1.已知函数f(x)=lnx g(x)=1/2ax^2+bx(a不为0） 问（1）若a=-2时，函数h(x)=f（x)-g(x)在其定义域内是增函数，求b取值范围 （2）在(1)的结论下，设φ(x)=e^2x+be^x,x∈[0,ln2].求函数最小值
2.设抛物线方程x^2=2py(p＞0).M为直线y=-2p上任意一点，过M点引抛物线的切线，切点分别为A,B 问 （1）求证：A,M,B三点横坐标成等差数列；（2）以知当M点的坐标为（2，-2p）时，|AB|=4√10，求此时抛物线方程
3.长方体ABCD-A1B1C1D1中，AD=AA1=1,AB=2,E在AB楞上移动.(1)证明：D1E垂直A1D (2)当E为AB中点时，求A到平面ECD1的距离；(3)AE等于何值时，二面角D1-EC-D的大小为π/4

Answer 1

1.
(1)当a=-2时，g(x)=(1/2)*(-2)*x^+bx=-x^+bx
则h(x)=lnx-(-x^+bx)=x^-bx+lnx
h'(x)=2x-b+1/x=(2x^-bx+1)/x
由于h(x)是由f(x)与g(x)相加而成的，它的定义域必然是两者定义域的并集，由此可得到

为x∈(0,+∞)是h(x)的定义域
而已知h(x)是其定义域内的增函数，于是应该有：
当x∈(0,+∞)即x>0时，h'(x)=(2x^-bx+1)/x >0
化简可得：2x^-bx+1>0
于是所求问题转化为：求出使得抛物线y=2x^-bx+1的函数值在x∈(0,+∞)上恒为正的b的

取值范围，可通过图像来求解：
抛物线y=2x^-bx+1的对称轴与b有关，为x=b/2，
要使函数值y在(0,+∞)上恒为正，只需其在(0,+∞)上的最小值为正即可，现对y的最小值

进行讨论：

1°当b/2≤0即b≤0时，抛物线的对称轴位于区间(0,+∞)的左侧，由于抛物线开口向上，

可知抛物线在(0,+∞)上时单调递增的，其最小值出现在x=0处，而此时的函数值可通过将

0代入y=2x^-bx+1求出为1，是大于0的，也就是说，当b≤0时，y在(0,+∞)上一定恒为正

2°当b/2>0即b>0时，抛物线对称轴为与(0,+∞)的范围之内，其在(0,+∞)上的最小值必

然在顶点处获得，只要满足其顶点位于x轴商贩故，即顶点纵坐标大于0，即可使得y的函

数值在(0,+∞)上恒正，（或者通过图像位于x轴上方，判断出二次方程x^-bx+1=0的△<0

，本质上相同），而这个顶点值可求出为(8-b^)/8
令其大于0，可得到b的取值范围是b∈(-2√2,2√2)，结合b>0的前提，可得到b的最终取

值范围是(0,2√2)

综上可知，当b∈(-∞,2√2)时，抛物线在(0,+∞)上时恒正的，从而有h'(x)>0，h(x)是

增函数的结论成立

(2)通过复合函数求最值
令t(x)=e^x
则有φ(t)=t^+bt
原φ(x)则是这两个函数复合而成的
由原函数的x∈[0,ln2]，可得出t(x)的值域为[1,2]，即φ(t)的定义域为[1,2]
故原题目要求转化为：求出φ(t)在t∈[1,2]上的最小值
显然，φ(t)是一个抛物线，其对称轴为x=-b/2，顶点坐标为(-b/2,-b^/4)
由于b满足（1）,为b<2√2，于是可得出-b/2>-√2，无法明确其与抛物线定义域[1,2]的

位置关系，需进行分类讨论确定最值：

1°当-√2<-b/2≤1，即-2≤b<2√2时，抛物线的对称轴位于区间[1,2]的左侧，由于抛物

线开口向上，故其在[1,2]上时单调递增的，最小值应该在t=1处取得，此时有φ(1)=b+1

，所以当b∈[-2,2√2)时，φ(t)min=b+1；将t=1代入到t(x)=e^x中，可得到x=0，由此说

明：当b∈[-2,2√2)时，原函数φ(x)在x=0处取得最小值b+1;

2°当1≤-b/2<2，即-4<b≤-2时，抛物线对称轴位于[1,2]之内，其最小值应该在顶点处

取得，为前方已求出的顶点纵坐标：-b^/4，此时t=-b/2
将t=-b/2带回t(x)中，可得到x=ln(-b/2)
故得出结论：当b∈[-4,-2)时，φ(x)在x=ln(-b/2)处取得最小值-b^/4;

3°当-b/2≥2，即b≤-4时，抛物线对称轴位于[1,2]的右侧，其在[1,2]单调递减，最小

值应在t=2处取得，为φ(2)=2b+4
将t=2带回t(x)中，求得x=ln2
故：当b∈(-∞,-4]时，φ(x)在x=ln2处取得最小值2b+4

综上，φ(x)在第(1)问b∈(-∞,2√2]的条件下，其最小值为：
2b+4 , b∈(-∞,-4];
-b^/4 , b∈(-4,-2];
b+1 , b∈(-2,2√2)

2.
(1)由于A，B都在抛物线x^=2py上，而M位于直线y=-2p上，可设A,B,M三点的坐标分别为A

(x1,x1^/2p),B(x2,x2^/2p),M(x0,-2p)
可将AM，BM两条直线的斜率分别表示为：
kAM=(x1^/2p +2p)/(x1-x0)
kBM=(x2^/2p +2p)/(x2-x0) ①
对抛物线解析式进行变化：
y=x^/2p
两边同时对x求导：
y'=2x/2p=x/p
此式为与抛物线相切的直线的斜率
AM，BM分别与抛物线切于A，B两点，故代入这两点的横坐标，亦可表示出AM与BM的斜率：
kAM=x1/p
kBM=x2/p
联立①，②，可得：
(x1^/2p +2p)/(x1-x0)=x1/p
(x2^/2p +2p)/(x2-x0)=x2/p
两式分别化简最后整理得：
x1^-2x1*x0=4p^ ③
x2^-2x2*x0=4p^
两式相减：
(x1^-x2^)-2x0*(x1-x2)=0
(x1-x2)*(x1+x2-2x0)=0
由于x1绝不可能等于x2(分析图像可知)，所以：
x0=(x1+x2)/2 ④
即，A，B，M三点的横坐标构成等差数列

(2)由已知x0=2与式④可得：x1+x2=4
将④代入③式：
x1^-2x1*(x1+x2)/2 =4p^
<=>x1*x2=-4p^ ⑤
|AB|=√[(xA-xB)^+(yA-yB)^]=4√10
<=>(xA-xB)^+(yA-yB)^=(4√10)^=160 ⑥
根据所设的A，B点坐标，可得：
xA-xB=x1-x2
yA-yB=x1^/2p -x2^/2p=(x1^-x2^)/2p=(x1+x2)*(x1-x2)/2p
将x1+x2=4代入：
yA-yB=(2/p)*(x1-x2)
将xA-xB与yA-yB都代入到⑥式：
[1+(2/p)^]*(x1-x2)^=160
[(p^+4)/p^] * [(x1+x2)^-4x1*x2]=160
将x1+x2=4以及⑤式代入，最后化简可得方程：
p^4 -5p^+4=0
<=>p^=1或4
<=>p=±1或±4
于是，抛物线解析式为：
x^=±2y,或者x^=±4y

3.
(1)连接AD1，A1D
长方体中，可得到：AB⊥面A1D1DA，四边形A1D1DA为矩形
∴AB⊥A1D
而根据已知，可知A1A=AD=1，故A1D1DA为正方形，两对角线AD1⊥A1D
于是，A1D⊥面AD1E
∴A1D⊥D1E

(2)可根据体积代换法求：
设A到面D1EC的距离为h，则四面体D1AEC的体积，可以表示成：S△D1EC*h/3
另外，还可以表示成：S△AEC*D1D/3
两者相等，可得：
h=D1D*(S△AEC)/S△D1EC ①
已知D1D=1
故只需求出△AEC与D1EC的面积即可
S△AEC=AE*CB/2
E为AB中点，所以AE=AB/2=1
于是S△AEC=1/2

长方体中，DD1⊥面ABCD，有DD1⊥CE
而可求出AE=DA=1，BE=BC=1，因此△ADE与△EBC都是等腰直角三角形，易求得∠DEC=90°

，故CE⊥DE
于是，有CE⊥面D1ED
∴CE⊥D1E
△D1EC为直角三角形
CE易在Rt△EBC中求得为√2
而DE也可求出是√2，于是在Rt△D1DE中，可求出D1E=√3
所以，S△D1EC=D1E*EC/2=√6/2
代入到h的①表达式，可求出：
h=√6/6

(3)过D点作DF⊥CE于点F，连接D1F
长方体中，DD1⊥面ABCD，可得DD1⊥CE
又由于CE⊥DF，故，CE⊥面DD1F
∴CE⊥D1F
而CE为面D1CE与面DCE的交线，故可说明∠D1FD即为二面角D1-EC-D，根据已知有
∠D1FD=45°
在Rt△DD1F中，可求出DF=DD1=1
于是，问题在平面ABCD中就可以得到解决：

请楼主画出此时面ABCD中的平面图形
由于DF⊥CE，∠DFC=90°
而Rt△DFC中，CD=2，DF=1，可求出∠DCF=30°
于是，∠ECB=90°-30°=60°
可在Rt△ECB中，由BC=1，解出BE=√3
于是，AE=AB-BE=2-√3

Answer 2

第一题第1问考察函数单调性，第2问是极值还有符合函数还有三角函数
第二题就是单纯的抛物线考察了
第三题考察二面角和体积转换法，楼主自己注意下就行了，我可没楼上那么好的能力。。