Question

设函数f(x)在x0处有三阶导数，且f"(x0)=0，f'''(x0)≠0,试证明点(x0,f(x0))必为拐点

Answer 1

f(x)在x0三阶可导，因此二阶导函数f"(x)在x0的附近连续。
考虑二阶导函数f"(x)，其导数f'''(xo)≠0，因此在x0的附近单调；而f''(xo)=0，因此在x0的两侧二阶导函数变号。由定义，此点为拐点。